मान लीजिए r एक वास्तविक संख्या है और n in N इ | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $2x^2+2x+1$, $(x+1)^n-r$ को विभाजित करता है, इसलिए $2x^2+2x+1=0$ के मूल $(x+1)^n-r=0$ को संतुष्ट करने चाहिए।द्विघात सूत्र का उपयोग

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$(4000, \frac{1}{4^{1000}})$

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(B) दिया गया है कि $2x^2+2x+1$, $(x+1)^n-r$ को विभाजित करता है, इसलिए $2x^2+2x+1=0$ के मूल $(x+1)^n-r=0$ को संतुष्ट करने चाहिए।द्विघात सूत्र का उपयोग करके $2x^2+2x+1=0$ को हल करने पर:$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4-8}}{4} = \frac{-1 \pm i}{2}$.$x = \frac{-1+i}{2}$ को $(x+1)^n = r$ में रखने पर:$(\frac{-1+i}{2} + 1)^n = r \Rightarrow (\frac{1+i}{2})^n = r$.$\frac{1+i}{2}$ को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करने पर: $\frac{1+i}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\pi/4}$.अतः, $(\frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\pi/4})^n = r \Rightarrow \frac{1}{2^{n/2}} e^{in\pi/4} = r$.चूंकि $r$ एक वास्तविक संख्या है, काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए, इसलिए $\sin(\frac{n\pi}{4}) = 0$, जिसका अर्थ है कि $n$, $4$ का गुणज होना चाहिए।$n=4000$ के लिए, $r = \frac{1}{2^{4000/2}} \cos(\frac{4000\pi}{4}) = \frac{1}{2^{2000}} \cos(1000\pi) = \frac{1}{2^{2000}} = \frac{1}{4^{1000}}$.अतः, $(n, r) = (4000, \frac{1}{4^{1000}})$.

मान लीजिए $r$ एक वास्तविक संख्या है और $n \in N$ इस प्रकार है कि बहुपद $2x^2+2x+1$, बहुपद $(x+1)^n-r$ को विभाजित करता है। तो, $(n, r)$ हो सकता है

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