ધારો કે r એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે અને n in N એવ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે કે $2x^2+2x+1$ એ $(x+1)^n-r$ ને ભાગે છે, તેથી $2x^2+2x+1=0$ ના બીજ $(x+1)^n-r=0$ ને સંતોષવા જોઈએ.$2x^2+2x+1=0$ ને દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કર

Vedclass · Accepted Answer

$(4000, \frac{1}{4^{1000}})$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે કે $2x^2+2x+1$ એ $(x+1)^n-r$ ને ભાગે છે, તેથી $2x^2+2x+1=0$ ના બીજ $(x+1)^n-r=0$ ને સંતોષવા જોઈએ.$2x^2+2x+1=0$ ને દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલતા:$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4-8}}{4} = \frac{-1 \pm i}{2}$.$x = \frac{-1+i}{2}$ ને $(x+1)^n = r$ માં મૂકતા:$(\frac{-1+i}{2} + 1)^n = r \Rightarrow (\frac{1+i}{2})^n = r$.$\frac{1+i}{2}$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં દર્શાવતા: $\frac{1+i}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\pi/4}$.તેથી, $(\frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\pi/4})^n = r \Rightarrow \frac{1}{2^{n/2}} e^{in\pi/4} = r$.કારણ કે $r$ વાસ્તવિક સંખ્યા છે, કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ, તેથી $\sin(\frac{n\pi}{4}) = 0$, જેનો અર્થ છે કે $n$ એ $4$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.$n=4000$ માટે, $r = \frac{1}{2^{4000/2}} \cos(\frac{4000\pi}{4}) = \frac{1}{2^{2000}} \cos(1000\pi) = \frac{1}{2^{2000}} = \frac{1}{4^{1000}}$.આમ, $(n, r) = (4000, \frac{1}{4^{1000}})$.

ધારો કે $r$ એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે અને $n \in N$ એવા છે કે બહુપદી $2x^2+2x+1$ એ બહુપદી $(x+1)^n-r$ ને ભાગે છે. તો, $(n, r)$ શું હોઈ શકે?

Similar Questions

જો $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ હોય,તો $\cos \left(\sum_{k=1}^7(k-\omega)(k-\omega^2) \frac{\pi}{175}\right) =$

જો $1, \omega, \omega^2$ એ એકમના ઘનમૂળ હોય,તો $\omega^2(1 + \omega)^3 - (1 + \omega^2)\omega = $

એકમ (unity) ના દસમા મૂળ પૈકી કોઈપણ બેનો ગુણાકાર શું થાય?

જો $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણ $x^3 + 27 = 0$ ના બીજ હોય,તો તેવું દ્વિઘાત સમીકરણ મેળવો જેના બીજ $\left( \frac{\gamma}{\alpha} \right)^2$ અને $\left( \frac{\beta}{\alpha} \right)^2$ હોય.

જો $\omega (\neq 1)$ એ એકમનું ઘનમૂળ હોય અને $(1 + \omega)^7 = A + B\omega$ હોય,તો $A$ અને $B$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module