मान लीजिए V_1 एक दिए गए लंबवृत्तीय शंकु का आय | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए दिए गए शंकु $V_1$ की ऊँचाई $H$ और त्रिज्या $R$ है। इसका आयतन $V_1 = \frac{1}{3} \pi R^2 H$ है।मान लीजिए अंकित शंकु $V_2$ की ऊँचाई $h$ और

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$\frac{4}{27}$

Vedclass · Answer

(C) मान लीजिए दिए गए शंकु $V_1$ की ऊँचाई $H$ और त्रिज्या $R$ है। इसका आयतन $V_1 = \frac{1}{3} \pi R^2 H$ है।मान लीजिए अंकित शंकु $V_2$ की ऊँचाई $h$ और त्रिज्या $r$ है। इस शंकु का शीर्ष $O$ पर है और इसका आधार $O$ से $h$ दूरी पर है। अंकित शंकु के आधार की शीर्ष $A$ से ऊँचाई $H-h$ है।समरूप त्रिभुजों द्वारा,$\frac{r}{R} = \frac{H-h}{H} = 1 - \frac{h}{H}$ है।अतः,$\frac{h}{H} = 1 - \frac{r}{R} \Rightarrow h = H(1 - \frac{r}{R})$ है।अंकित शंकु का आयतन $V_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^2 H(1 - \frac{r}{R}) = \frac{\pi H}{3} (r^2 - \frac{r^3}{R})$ है।$V_2$ को अधिकतम करने के लिए,हम $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dV_2}{dr} = \frac{\pi H}{3} (2r - \frac{3r^2}{R}) = 0$ है।इससे $r(2 - \frac{3r}{R}) = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $r 
eq 0$,हमें $r = \frac{2R}{3}$ प्राप्त होता है।$r = \frac{2R}{3}$ को $h$ के समीकरण में रखने पर: $h = H(1 - \frac{2R/3}{R}) = H(1 - \frac{2}{3}) = \frac{H}{3}$ है।अब,$V_2 = \frac{1}{3} \pi (\frac{2R}{3})^2 (\frac{H}{3}) = \frac{1}{3} \pi (\frac{4R^2}{9}) (\frac{H}{3}) = \frac{4}{27} (\frac{1}{3} \pi R^2 H) = \frac{4}{27} V_1$ है।अतः,अनुपात $\frac{V_2}{V_1} = \frac{4}{27}$ है।

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