मान लीजिए x, y, z धनात्मक वास्तविक संख्याएँ ह | vedclass

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Question

(B) $x, y, z > 0$ के लिए,हम प्रत्येक स्थिति का विश्लेषण करते हैं:$I.$ $x^3+y^3+z^3-3xyz = \frac{1}{2}(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2) = 0$. चूँकि $x+y

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केवल $I, II, IV$

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(B) $x, y, z > 0$ के लिए,हम प्रत्येक स्थिति का विश्लेषण करते हैं:$I.$ $x^3+y^3+z^3-3xyz = \frac{1}{2}(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2) = 0$. चूँकि $x+y+z > 0$,यह $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 = 0$ का तात्पर्य रखता है,अतः $x=y=z$.$II.$ $x^3+y^2z+yz^2=3xyz$. $xyz$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^2}{yz} + \frac{y}{x} + \frac{z}{x} = 3$ प्राप्त होता है। $AM$-$GM$ असमिका द्वारा,$\frac{x^2}{yz} + \frac{y}{x} + \frac{z}{x} \ge 3 \sqrt[3]{\frac{x^2}{yz} \cdot \frac{y}{x} \cdot \frac{z}{x}} = 3(1) = 3$. समानता तभी होती है जब $\frac{x^2}{yz} = \frac{y}{x} = \frac{z}{x}$ हो,जो $x=y=z$ का तात्पर्य रखता है।$III.$ $x^3+y^2z+z^2x=3xyz$. यदि $x=1, y=2, z=0.5$ लें,तो $3.25 
eq 3$ प्राप्त होता है। यह स्थिति हमेशा $x=y=z$ का तात्पर्य नहीं रखती है।$IV.$ $AM$-$GM$ द्वारा,$\frac{x+y+z}{3} \ge \sqrt[3]{xyz}$. अतः $(x+y+z)^3 \ge 27xyz$. समानता तभी होती है जब $x=y=z$ हो।अतः,$I, II,$ और $IV$ का तात्पर्य $x=y=z$ है।

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