यदि $x = \frac{1}{2} \left( \sqrt{7} + \frac{1}{\sqrt{7}} \right)$ है,तो $\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x - \sqrt{x^2 - 1}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि सभी वास्तविक $x$ के लिए $\left|\frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1}\right| < 3$ है,तो $k$ किस अंतराल में है?

मान लीजिए $2 \sin^2 x + 3 \sin x - 2 > 0$ और $x^2 - x - 2 < 0$ ($x$ रेडियन में मापा गया है)। तो $x$ किस अंतराल में स्थित है?

$5$ घात वाला वह बहुपद समीकरण जिसके मूल $x^5-2x^4+3x^3-4x^2+5x-6=0$ के मूलों को $-2$ से स्थानांतरित करने पर प्राप्त होते हैं,है:

वक्र $y=x^2+9x+20$ और $y=x^2+bx+c$ $X$-अक्ष को $(\alpha_i, 0)$ बिंदुओं पर काटते हैं,जहाँ $i=1, 2, 3, 4$ है। यदि $\alpha_1 < \alpha_2 < \alpha_3 < \alpha_4$ इस प्रकार हैं कि $|\alpha_1-\alpha_3|=|\alpha_2-\alpha_4|=8$,तो $b$ और $c$ के सभी संभावित मानों का योग क्या है?

मान लीजिए $p, q$ वास्तविक संख्याएँ हैं। यदि $\alpha$, $x^{2}+3 p^{2} x+5 q^{2}=0$ का एक मूल है, $\beta$, $x^{2}+9 p^{2} x+15 q^{2}=0$ का एक मूल है और $0 < \alpha < \beta$ है, तो समीकरण $x^{2}+6 p^{2} x+10 q^{2}=0$ का एक मूल $\gamma$ है जो हमेशा संतुष्ट करता है: