ધારો કે $x=2$ એ સમીકરણ $x^2+px+q=0$ નું એક બીજ છે અને $f(x)=\begin{cases} \frac{1-\cos(x^2-4px+q^2+8q+16)}{(x-2p)^4}, & x \neq 2p \\ 0, & x=2p \end{cases}$ છે. તો $\lim _{x \rightarrow 2p^{+}}[f(x)]$,જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે,તે $........$ છે.

જો $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(a+2)x + \sin x}{x} & ; x < 0 \\ b & ; x = 0 \\ \frac{(x+3x^2)^{1/3} - x^{1/3}}{x^{4/3}} & ; x > 0 \end{cases}$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોય, તો $a+2b$ ની કિંમત શોધો.

વિધેય $f(x) = \begin{cases} sgn([x]) & x \notin I \\ [sgn(x)] & x \in I \end{cases}$ એ (જ્યાં $sgn()$ એ સિગ્નમ વિધેય દર્શાવે છે અને $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે):

જો વિધેય $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} \log_{e}\left(\frac{1+\frac{x}{a}}{1-\frac{x}{b}}\right), & x < 0 \\ k, & x = 0 \\ \frac{\cos^{2} x - \sin^{2} x - 1}{\sqrt{x^{2}+1}-1}, & x > 0 \end{cases}$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોય,તો $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{4}{k}$ ની કિંમત શોધો.

$cosine, cosecant, secant$ અને $cotangent$ વિધેયોની સાતત્યતાની ચર્ચા કરો.

ધારો કે $f, g: R \rightarrow R$ એ $f(x) = \begin{cases} x \sin \left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ અને $g(x) = x f(x)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેયો છે. નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો: $(i)$ $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે પરંતુ $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી. $(ii)$ $g(x)$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય છે, પરંતુ $g'(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત નથી. તો, નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?