ધારો કે f(x)=x+frac{a}{pi^2-4} sin x+frac{b}{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે $f(x)=x+\int \limits_0^{\pi / 2} \sin (x+y) f(y) d y$.$\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ નો ઉપયોગ કરતા:$f(x)=x+\sin x \int \limit

Vedclass · Accepted Answer

$-2 \pi(\pi+2)$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે $f(x)=x+\int \limits_0^{\pi / 2} \sin (x+y) f(y) d y$.$\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ નો ઉપયોગ કરતા:$f(x)=x+\sin x \int \limits_0^{\pi / 2} \cos y f(y) d y + \cos x \int \limits_0^{\pi / 2} \sin y f(y) d y$.આને $f(x)=x+\frac{a}{\pi^2-4} \sin x+\frac{b}{\pi^2-4} \cos x$ સાથે સરખાવતા:$\frac{a}{\pi^2-4} = \int \limits_0^{\pi / 2} f(y) \cos y d y$ અને $\frac{b}{\pi^2-4} = \int \limits_0^{\pi / 2} f(y) \sin y d y$.ધારો કે $I = \int \limits_0^{\pi / 2} f(y) (\sin y + \cos y) d y = \frac{a+b}{\pi^2-4}$.ગુણધર્મ $\int_0^a g(y) dy = \int_0^a g(a-y) dy$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = \int_0^{\pi/2} f(\frac{\pi}{2}-y) (\sin(\frac{\pi}{2}-y) + \cos(\frac{\pi}{2}-y)) dy = \int_0^{\pi/2} f(\frac{\pi}{2}-y) (\cos y + \sin y) dy$.$f(x) = x + I(\sin x + \cos x)$ હોવાથી,$f(\frac{\pi}{2}-y) = \frac{\pi}{2} - y + I(\cos y + \sin y)$.આને $I$ માં મૂકતા:$I = \int_0^{\pi/2} (\frac{\pi}{2} - y + I(\sin y + \cos y))(\sin y + \cos y) dy$.$I = \int_0^{\pi/2} (\frac{\pi}{2} - y)(\sin y + \cos y) dy + I \int_0^{\pi/2} (\sin y + \cos y)^2 dy$.સંકલન કરતા:$\int_0^{\pi/2} (\frac{\pi}{2} - y)(\sin y + \cos y) dy = \frac{\pi}{2}$.$\int_0^{\pi/2} (1 + 2 \sin y \cos y) dy = \frac{\pi}{2} + 1$.તેથી,$I = \frac{\pi}{2} + I(\frac{\pi}{2} + 1) \Rightarrow I = -1$.આમ,$a+b = -(\pi^2-4) = 4-\pi^2$. વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $-2\pi(\pi+2)$ છે.

સ્તંભ $I$	સ્તંભ $II$
$(A) \int_{-1}^1 \frac{dx}{1+x^2}$	$(p) \frac{1}{2} \log \left(\frac{2}{3}\right)$
$(B) \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$	$(q) 2 \log \left(\frac{2}{3}\right)$
$(C) \int_2^3 \frac{dx}{1-x^2}$	$(r) \frac{\pi}{3}$
$(D) \int_1^2 \frac{dx}{x \sqrt{x^2-1}}$	$(s) \frac{\pi}{2}$

યાદી $I$	યાદી $II$
$P.$ $f(0)=0$ અને $\int_0^1 f(x) dx=1$ નું પાલન કરતા,$\leq 2$ ઘાતવાળા અ-ઋણ પૂર્ણાંક સહગુણકો ધરાવતા બહુપદીઓ $f(x)$ ની સંખ્યા છે	$1.$ $8$
$Q.$ અંતરાલ $(-\sqrt{13}, \sqrt{13})$ માં એવા બિંદુઓની સંખ્યા જ્યાં $f(x)=\sin(x^2)+\cos(x^2)$ તેની મહત્તમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે	$2.$ $2$
$R.$ $\int_{-2}^2 \frac{3x^2}{1+e^x} dx$ બરાબર છે	$3.$ $4$
$S.$ $\frac{\int_{-1/2}^{1/2} \cos 2x \log(\frac{1+x}{1-x}) dx}{\int_0^{1/2} \cos 2x \log(\frac{1+x}{1-x}) dx}$ બરાબર છે	$4.$ $0$

Similar Questions

જો $\alpha = \int_{0}^{2\sqrt{3}} \log_2(x^2+4) dx + \int_{2}^{4} \sqrt{2^x-4} dx$ હોય, તો $\alpha^2$ ની કિંમત . . . . . . થાય.

ધારો કે $I_n = \int_0^1 e^{-y} y^n \, dy$,જ્યાં $n$ એ અ-ઋણ પૂર્ણાંક છે. તો,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_n}{n!}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module