मान लीजिए कि y=f(x) अवकल समीकरण y(x+1) dx - x | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $y(x+1) dx = x^2 dy$.चरों को अलग करने पर: $\frac{x+1}{x^2} dx = \frac{dy}{y}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (\frac{1

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $y(x+1) dx = x^2 dy$.चरों को अलग करने पर: $\frac{x+1}{x^2} dx = \frac{dy}{y}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}) dx = \int \frac{dy}{y}$.इससे प्राप्त होता है: $\ln|x| - \frac{1}{x} = \ln|y| + C$.प्रारंभिक शर्त $y(1)=e$ का उपयोग करते हुए,$x=1$ और $y=e$ रखने पर: $\ln(1) - \frac{1}{1} = \ln(e) + C$.$0 - 1 = 1 + C$,जिसका अर्थ है $C = -2$.अतः,हल $\ln|y| = \ln|x| - \frac{1}{x} + 2$ है।दोनों पक्षों का घातांक लेने पर: $y = e^{\ln x - \frac{1}{x} + 2} = x \cdot e^{-\frac{1}{x} + 2}$.अब,सीमा का मान ज्ञात करते हैं: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \cdot e^{-\frac{1}{x} + 2}$.मान लीजिए $t = \frac{1}{x}$. जब $x \rightarrow 0^{+}$,तब $t \rightarrow \infty$.सीमा $\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{e^{-t+2}}{t} = \lim _{t \rightarrow \infty} \frac{e^2}{t e^t} = 0$ प्राप्त होती है।

मान लीजिए कि $y=f(x)$ अवकल समीकरण $y(x+1) dx - x^2 dy = 0$ का हल है,जहाँ $y(1)=e$ है। तो $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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