ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ x log _e x frac{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \ln x \frac{dy}{dx} + y = x^2 \ln x$ છે.$x \ln x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \ln x} y = x$ મળે છે.આ $\frac{dy

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{4+e^2}{4}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \ln x \frac{dy}{dx} + y = x^2 \ln x$ છે.$x \ln x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \ln x} y = x$ મળે છે.આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{1}{x \ln x}$ અને $Q(x) = x$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x \ln x} dx} = e^{\ln(\ln x)} = \ln x$ છે.ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે.$y \ln x = \int x \ln x dx + C$.ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int x \ln x dx = \ln x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$.તેથી,$y \ln x = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$.$y(2) = 2$ આપેલ હોવાથી,$2 \ln 2 = \frac{4}{2} \ln 2 - \frac{4}{4} + C \Rightarrow 2 \ln 2 = 2 \ln 2 - 1 + C \Rightarrow C = 1$.આમ,$y \ln x = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + 1$.$x = e$ માટે,$y \ln e = \frac{e^2}{2} \ln e - \frac{e^2}{4} + 1$.$\ln e = 1$ હોવાથી,$y(e) = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + 1 = \frac{e^2}{4} + 1 = \frac{e^2 + 4}{4}$.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x \log _e x \frac{d y}{d x}+y=x^2 \log _e x, (x > 1)$ નો ઉકેલ છે. જો $y(2)=2$ હોય,તો $y(e)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$\frac{dy}{dx} + y = e^x$ નો ઉકેલ શોધો.

$x \in R, x \ne 0$ માટે,જો $y(x)$ એ વિકલનીય વિધેય હોય કે જેથી $x \int_{1}^{x} y(t) dt = (x + 1) \int_{1}^{x} t y(t) dt$ થાય,તો $y(x)$ ની કિંમત શું થાય? (જ્યાં $C$ અચળાંક છે)

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module