मान लीजिए (a, b) subset (0, 2pi) वह सबसे बड़ा | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $\sin^{-1}(\sin 	heta) - \cos^{-1}(\sin 	heta) > 0$.$\cos^{-1}(x) = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(x)$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $\s

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$\frac{\pi}{12}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $\sin^{-1}(\sin 	heta) - \cos^{-1}(\sin 	heta) > 0$.$\cos^{-1}(x) = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(x)$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $\sin^{-1}(\sin 	heta) - (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(\sin 	heta)) > 0$.$2 \sin^{-1}(\sin 	heta) > \frac{\pi}{2} \Rightarrow \sin^{-1}(\sin 	heta) > \frac{\pi}{4}$.इसका अर्थ है $\sin 	heta > \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.$	heta \in (0, 2\pi)$ के लिए,$\sin 	heta > \frac{1}{\sqrt{2}}$ अंतराल $	heta \in (\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$ में सत्य है।अतः,$(a, b) = (\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$,जिससे $b - a = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.दिया गया है $\alpha - \beta = b - a = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\beta = \alpha - \frac{\pi}{2}$.समीकरण $\alpha x^2 + \beta x + \sin^{-1}((x-3)^2 + 1) + \cos^{-1}((x-3)^2 + 1) = 0$ है।चूंकि $\sin^{-1}(y) + \cos^{-1}(y) = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $y = (x-3)^2 + 1$ के लिए,$(x-3)^2 + 1 = 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x = 3$.$x = 3$ को समीकरण में रखने पर: $\alpha(3)^2 + \beta(3) + \frac{\pi}{2} = 0$.$9\alpha + 3(\alpha - \frac{\pi}{2}) + \frac{\pi}{2} = 0$.$12\alpha - \pi = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{12}$.

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