मान लीजिए f(x) एक फलन है जो f(x) + f(pi - x) | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \, dx$  $(1)$गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a - x) \, dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{0}^{

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$\pi^2$

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(D) माना $I = \int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \, dx$  $(1)$गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a - x) \, dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{0}^{\pi} f(\pi - x) \sin(\pi - x) \, dx$चूंकि $\sin(\pi - x) = \sin x$,इसलिए:$I = \int_{0}^{\pi} f(\pi - x) \sin x \, dx$  $(2)$समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:$2I = \int_{0}^{\pi} [f(x) + f(\pi - x)] \sin x \, dx$दिया गया है कि $f(x) + f(\pi - x) = \pi^2$,इसलिए:$2I = \int_{0}^{\pi} \pi^2 \sin x \, dx$$2I = \pi^2 \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$$2I = \pi^2 [-\cos x]_{0}^{\pi}$$2I = \pi^2 [-(\cos \pi - \cos 0)]$$2I = \pi^2 [-(-1 - 1)]$$2I = \pi^2 [2]$$2I = 2\pi^2$$I = \pi^2$

मान लीजिए $f(x)$ एक फलन है जो $f(x) + f(\pi - x) = \pi^2, \forall x \in R$ को संतुष्ट करता है। तो $\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \, dx$ का मान $...........$ है।

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यदि $f(x) = \frac{2 - x \cos x}{2 + x \cos x}$ और $g(x) = \ln x$ $(x > 0)$ है,तो समाकलन $\int_{-\pi/4}^{\pi/4} g(f(x)) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $I = \int_0^{\pi /4} \sin^2 x \, dx$ और $J = \int_0^{\pi /4} \cos^2 x \, dx$ है,तो $I = $

$\int_0^{3 \pi / 2} \frac{\cos ^3 x}{\cos ^3 x+\sin ^3 x} d x=$

यदि $f(t) = \int_0^\pi \frac{2x \, dx}{1 - \cos^2 t \sin^2 x}$,जहाँ $0 < t < \pi$,तो $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\pi^2 \, dt}{f(t)}$ का मान .......... है।

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