ધારો કે f એક સતત વિધેય છે જે int limits_0^{t^ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ સમીકરણ $\int \limits_0^{t^2} (f(x) + x^2) dx = \frac{4}{3} t^3$ છે. બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (Leibniz integral rule નો ઉપયોગ કર

Vedclass · Accepted Answer

$\pi \left(1 - \frac{\pi^3}{16}\right)$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ સમીકરણ $\int \limits_0^{t^2} (f(x) + x^2) dx = \frac{4}{3} t^3$ છે. બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (Leibniz integral rule નો ઉપયોગ કરીને): $\frac{d}{dt} \left( \int \limits_0^{t^2} (f(x) + x^2) dx \right) = \frac{d}{dt} \left( \frac{4}{3} t^3 \right)$. ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા: $(f(t^2) + (t^2)^2) \cdot \frac{d}{dt}(t^2) = 4t^2$. $(f(t^2) + t^4) \cdot 2t = 4t^2$. $t > 0$ હોવાથી,$2t$ વડે ભાગતા: $f(t^2) + t^4 = 2t$. $f(t^2) = 2t - t^4$. $f \left(\frac{\pi^2}{4}\right)$ શોધવા માટે,$t^2 = \frac{\pi^2}{4}$ લેતા,જેનો અર્થ છે $t = \frac{\pi}{2}$ ($t > 0$ હોવાથી). $t = \frac{\pi}{2}$ ને $f(t^2)$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $f \left(\frac{\pi^2}{4}\right) = 2 \left(\frac{\pi}{2}\right) - \left(\frac{\pi}{2}\right)^4$. $f \left(\frac{\pi^2}{4}\right) = \pi - \frac{\pi^4}{16}$. $\pi$ સામાન્ય કાઢતા: $f \left(\frac{\pi^2}{4}\right) = \pi \left(1 - \frac{\pi^3}{16}\right)$.

ધારો કે $f$ એક સતત વિધેય છે જે $\int \limits_0^{t^2} (f(x) + x^2) dx = \frac{4}{3} t^3, \forall t > 0$ નું પાલન કરે છે. તો $f \left(\frac{\pi^2}{4}\right)$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} \cos \left(t^{2}\right) d t}{x \sin x}$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^{\pi / 2} \sin^8 x \, dx =$

દ્વિ-વિકલનીય વિધેય $f(x) = \int_{0}^{x} e^{x-t} f'(t) dt - (x^2 - x + 1) e^x, x \in R$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left\{\sin ^5\left(\frac{\pi}{6 n}\right)+\sin ^5\left(\frac{2 \pi}{6 n}\right)+\sin ^5\left(\frac{3 \pi}{6 n}\right)+\ldots+\sin ^5\left(\frac{\pi}{2}\right)\right\} = $

$\int_0^2 x^{\frac{5}{2}} \sqrt{2-x} \, dx =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module