मान लीजिए f एक सतत फलन है जो int limits_0^{t^ | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण $\int \limits_0^{t^2} (f(x) + x^2) dx = \frac{4}{3} t^3$ है। दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (Leibniz integral rule क

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$\pi \left(1 - \frac{\pi^3}{16}\right)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया समीकरण $\int \limits_0^{t^2} (f(x) + x^2) dx = \frac{4}{3} t^3$ है। दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (Leibniz integral rule का उपयोग करते हुए): $\frac{d}{dt} \left( \int \limits_0^{t^2} (f(x) + x^2) dx \right) = \frac{d}{dt} \left( \frac{4}{3} t^3 \right)$. श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए: $(f(t^2) + (t^2)^2) \cdot \frac{d}{dt}(t^2) = 4t^2$. $(f(t^2) + t^4) \cdot 2t = 4t^2$. चूंकि $t > 0$,हम $2t$ से विभाजित कर सकते हैं: $f(t^2) + t^4 = 2t$. $f(t^2) = 2t - t^4$. $f \left(\frac{\pi^2}{4}\right)$ ज्ञात करने के लिए,$t^2 = \frac{\pi^2}{4}$ रखने पर,जिसका अर्थ है $t = \frac{\pi}{2}$ ($t > 0$ होने के कारण)। $t = \frac{\pi}{2}$ को $f(t^2)$ के समीकरण में रखने पर: $f \left(\frac{\pi^2}{4}\right) = 2 \left(\frac{\pi}{2}\right) - \left(\frac{\pi}{2}\right)^4$. $f \left(\frac{\pi^2}{4}\right) = \pi - \frac{\pi^4}{16}$. $\pi$ को कॉमन लेने पर: $f \left(\frac{\pi^2}{4}\right) = \pi \left(1 - \frac{\pi^3}{16}\right)$.

मान लीजिए $f$ एक सतत फलन है जो $\int \limits_0^{t^2} (f(x) + x^2) dx = \frac{4}{3} t^3, \forall t > 0$ को संतुष्ट करता है। तो $f \left(\frac{\pi^2}{4}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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$\int_0^{\pi / 2} \sin ^8 x \cos ^2 x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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