मान लीजिए vec{a}=hat{i}+2hat{j}+3hat{k} और ve | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $\vec{a}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$।हम जानते हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (2)(1) + (3

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$285$

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(A) दिया गया है $\vec{a}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$।हम जानते हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (2)(1) + (3)(-1) = 1 + 2 - 3 = 0$,अतः $\vec{a} \perp \vec{b}$।साथ ही,$|\vec{b}| = \sqrt{1^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{3}$।दिया गया है $\vec{b} \cdot (\vec{a} 	imes \vec{c}) = 27$। यह अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{b}, \vec{a}, \vec{c}] = 27$ है।सदिश त्रिक गुणनफल के नियम का उपयोग करते हुए $\vec{b} 	imes (\vec{a} 	imes \vec{c}) = (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} - (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{c}$।चूंकि $\vec{b} \cdot \vec{a} = 0$,इसलिए $\vec{b} 	imes (\vec{a} 	imes \vec{c}) = (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$।दिया गया है $\vec{b} \cdot \vec{c} = -\sqrt{3}|\vec{b}| = -\sqrt{3}(\sqrt{3}) = -3$।अतः,$\vec{b} 	imes (\vec{a} 	imes \vec{c}) = -3\vec{a}$।दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर: $|\vec{b}| |\vec{a} 	imes \vec{c}| \sin 	heta = |-3\vec{a}| = 3|\vec{a}|$,जहाँ $	heta$ सदिश $\vec{b}$ और $\vec{a} 	imes \vec{c}$ के बीच का कोण है।$|\vec{a}| = \sqrt{1^2+2^2+3^2} = \sqrt{14}$।अतः,$\sqrt{3} |\vec{a} 	imes \vec{c}| \sin 	heta = 3\sqrt{14}$।साथ ही,$\vec{b} \cdot (\vec{a} 	imes \vec{c}) = |\vec{b}| |\vec{a} 	imes \vec{c}| \cos 	heta = 27$।$\sqrt{3} |\vec{a} 	imes \vec{c}| \cos 	heta = 27 \implies |\vec{a} 	imes \vec{c}| \cos 	heta = \frac{27}{\sqrt{3}} = 9\sqrt{3}$।वर्ग करके जोड़ने पर: $(|\vec{a} 	imes \vec{c}| \sin 	heta)^2 + (|\vec{a} 	imes \vec{c}| \cos 	heta)^2 = (\frac{3\sqrt{14}}{\sqrt{3}})^2 + (9\sqrt{3})^2$।$|\vec{a} 	imes \vec{c}|^2 = 3(14) + 81(3) = 42 + 243 = 285$।

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