मान लीजिए I(x) = int sqrt{frac{x+7}{x}} , dx | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $I(x) = \int \sqrt{\frac{x+7}{x}} \, dx$ है। $x = t^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2t \, dt$ प्राप्त होता है। समाकलन $\int \sqrt{\frac{t^

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$64$

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(D) मान लीजिए $I(x) = \int \sqrt{\frac{x+7}{x}} \, dx$ है। $x = t^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2t \, dt$ प्राप्त होता है। समाकलन $\int \sqrt{\frac{t^2+7}{t^2}} \cdot 2t \, dt = 2 \int \sqrt{t^2+7} \, dt$ हो जाता है। सूत्र $\int \sqrt{t^2+a^2} \, dt = \frac{t}{2} \sqrt{t^2+a^2} + \frac{a^2}{2} \ln|t + \sqrt{t^2+a^2}| + C$ का उपयोग करने पर: $I(t) = 2 \left[ \frac{t}{2} \sqrt{t^2+7} + \frac{7}{2} \ln|t + \sqrt{t^2+7}| \right] + C = t \sqrt{t^2+7} + 7 \ln|t + \sqrt{t^2+7}| + C$. $t = \sqrt{x}$ रखने पर,$I(x) = \sqrt{x} \sqrt{x+7} + 7 \ln|\sqrt{x} + \sqrt{x+7}| + C$ प्राप्त होता है। दिया गया है $I(9) = 12 + 7 \ln 7$. $I(9) = \sqrt{9} \sqrt{9+7} + 7 \ln|\sqrt{9} + \sqrt{9+7}| + C = 3 \cdot 4 + 7 \ln(3+4) + C = 12 + 7 \ln 7 + C$. तुलना करने पर,$C = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$I(x) = \sqrt{x(x+7)} + 7 \ln(\sqrt{x} + \sqrt{x+7})$. अब,$I(1) = \sqrt{1(1+7)} + 7 \ln(\sqrt{1} + \sqrt{1+7}) = \sqrt{8} + 7 \ln(1 + \sqrt{8}) = \sqrt{8} + 7 \ln(1 + 2\sqrt{2})$. दिया गया है $I(1) = \alpha + 7 \ln(1 + 2\sqrt{2})$,इसलिए $\alpha = \sqrt{8}$. अतः,$\alpha^4 = (\sqrt{8})^4 = 8^2 = 64$.

मान लीजिए $I(x) = \int \sqrt{\frac{x+7}{x}} \, dx$ और $I(9) = 12 + 7 \log_e 7$ है। यदि $I(1) = \alpha + 7 \log_e(1 + 2\sqrt{2})$ है,तो $\alpha^4$ का मान $..........$ है।

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