मान लीजिए n एक निश्चित धनात्मक पूर्णांक है। प | vedclass

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Question

(D) पूर्णांकों के समुच्चय $Z$ पर संबंध $R$ को $aRb \Leftrightarrow n | (a - b)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।$1$. स्वतुल्य: किसी भी $a \in Z$ के लि

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उपरोक्त सभी

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(D) पूर्णांकों के समुच्चय $Z$ पर संबंध $R$ को $aRb \Leftrightarrow n | (a - b)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।$1$. स्वतुल्य: किसी भी $a \in Z$ के लिए,$(a - a) = 0$ होता है। चूंकि किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $n | 0$ होता है,इसलिए $aRa$ सत्य है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।$2$. सममित: यदि $aRb$ है,तो $n | (a - b)$,जिसका अर्थ है कि $(a - b) = nk$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए। तब $(b - a) = -(a - b) = -nk = n(-k)$ होता है। चूंकि $-k$ एक पूर्णांक है,इसलिए $n | (b - a)$,अतः $bRa$ है। अतः,$R$ सममित है।$3$. संक्रामक: यदि $aRb$ और $bRc$ है,तो $n | (a - b)$ और $n | (b - c)$ होता है। इसका अर्थ है कि $(a - b) = nk_1$ और $(b - c) = nk_2$ किन्हीं पूर्णांकों $k_1, k_2$ के लिए। इनका योग करने पर,$(a - c) = (a - b) + (b - c) = n(k_1 + k_2)$ प्राप्त होता है। चूंकि $(k_1 + k_2)$ एक पूर्णांक है,इसलिए $n | (a - c)$,अतः $aRc$ है। अतः,$R$ संक्रामक है।चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है। अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

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