ધારો કે $A$ એ $2 \times 2$ નો વાસ્તવિક શ્રેણિક છે અને $I$ એ $2$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે. જો સમીકરણ $|A-xI|=0$ ના બીજ $-1$ અને $3$ હોય,તો શ્રેણિક $A^2$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $..............$ છે.

$0$ અને $\pi / 2$ ની વચ્ચે રહેલ $\theta$ ની કિંમત શોધો જે સમીકરણ $\left| \begin{array}{ccc} 1 + \sin^2 \theta & \cos^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ \sin^2 \theta & 1 + \cos^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ \sin^2 \theta & \cos^2 \theta & 1 + 4 \sin 4 \theta \end{array} \right| = 0$ નું સમાધાન કરે છે.

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & \alpha \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ \beta & 2 \end{bmatrix}$. જો $A^2 - 4A + I = O$ અને $B^2 - 5B - 6I = O$ હોય, તો નીચેના બે વિધાનો પૈકી:
(S1): $[(B - A)(B + A)]^T = \begin{bmatrix} 13 & 15 \\ 7 & 10 \end{bmatrix}$
અને
(S2): $\det(\text{adj}(A + B)) = -5$.

ધારો કે $A$ એ વાસ્તવિક ઘટકો ધરાવતો $2 \times 2$ શ્રેણિક છે,જેથી $A^{T} = \alpha A + I$,જ્યાં $\alpha \in R - \{-1, 1\}$ છે. જો $\det(A^2 - A) = 4$ હોય,તો $\alpha$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો કેટલો થાય?

ધારો કે $X = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$. ધારો કે $Y$ એ $2 \times 2$ નો વાસ્તવિક શ્રેણિક છે જે $XY = YX$ શરતનું પાલન કરે છે. તો $\det(Y)$ ની ન્યૂનતમ શક્ય કિંમત શું છે?

ધારો કે $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે જ્યાં $\omega \neq 1$ અને $P = [p_{ij}]$ એ $2 \times 2$ શ્રેણિક છે જ્યાં $p_{ij} = \omega^{i+j}$. જો $P^2 \neq 0$ હોય અને $P^k = P$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.