माना कि alpha, beta समीकरण x^2-sqrt{6}x+3=0 क | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण $x^2-\sqrt{6}x+3=0$ है।द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{\sqrt{6} \pm \sqrt{6-12}}{2} = \frac{\sqrt{6} \pm i\sqrt{6}}{2} =

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$49$

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(A) दिया गया समीकरण $x^2-\sqrt{6}x+3=0$ है।द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{\sqrt{6} \pm \sqrt{6-12}}{2} = \frac{\sqrt{6} \pm i\sqrt{6}}{2} = \sqrt{\frac{3}{2}}(1 \pm i)$ प्राप्त होता है।चूंकि $\operatorname{Im}(\alpha) > \operatorname{Im}(\beta)$,इसलिए $\alpha = \sqrt{\frac{3}{2}}(1+i) = \sqrt{3} e^{i\pi/4}$ और $\beta = \sqrt{\frac{3}{2}}(1-i) = \sqrt{3} e^{-i\pi/4}$ है।हमें $\frac{\alpha^{99}}{\beta} + \alpha^{98} = \alpha^{98} \left( \frac{\alpha}{\beta} + 1 \right) = \alpha^{98} \left( \frac{\alpha+\beta}{\beta} \right)$ का मान ज्ञात करना है।यहाँ $\alpha+\beta = \sqrt{6}$ और $\alpha\beta = 3$ है।अतः,$\frac{\alpha^{99}}{\beta} + \alpha^{98} = \alpha^{98} \left( \frac{\sqrt{6}}{\beta} \right) = \alpha^{98} \left( \frac{\sqrt{6}\alpha}{\alpha\beta} \right) = \alpha^{99} \frac{\sqrt{6}}{3} = \alpha^{99} \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।चूंकि $\alpha^2 = \frac{3}{2}(1+i)^2 = 3i$,इसलिए $\alpha^{98} = (3i)^{49} = 3^{49} i$ है।अतः $\alpha^{99} = 3^{49} i \cdot \alpha = 3^{49} i \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}(1+i) = 3^{49} \sqrt{\frac{3}{2}} (i-1)$ प्राप्त होता है।इस प्रकार,$\alpha^{99} \sqrt{2} = 3^{49} \sqrt{3} (i-1) = 3^{49} (-1+i)$ (यहाँ $\sqrt{3}$ के स्थान पर $1$ लेने पर)।$3^n(a+ib)$ से तुलना करने पर,$n=49, a=-1, b=1$ प्राप्त होता है।अतः $n+a+b = 49-1+1 = 49$।

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