ધારો કે alpha, beta એ સમીકરણ x^2-sqrt{6}x+3=0 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2-\sqrt{6}x+3=0$ છે.દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{\sqrt{6} \pm \sqrt{6-12}}{2} = \frac{\sqrt{6} \pm i\sqrt{6}}{2} = \sqrt{\

Vedclass · Accepted Answer

$49$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2-\sqrt{6}x+3=0$ છે.દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{\sqrt{6} \pm \sqrt{6-12}}{2} = \frac{\sqrt{6} \pm i\sqrt{6}}{2} = \sqrt{\frac{3}{2}}(1 \pm i)$.કારણ કે $\operatorname{Im}(\alpha) > \operatorname{Im}(\beta)$,તેથી $\alpha = \sqrt{\frac{3}{2}}(1+i) = \sqrt{3} e^{i\pi/4}$ અને $\beta = \sqrt{\frac{3}{2}}(1-i) = \sqrt{3} e^{-i\pi/4}$ મળે.આપણે $\frac{\alpha^{99}}{\beta} + \alpha^{98} = \alpha^{98} \left( \frac{\alpha}{\beta} + 1 \right) = \alpha^{98} \left( \frac{\alpha+\beta}{\beta} \right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.અહીં $\alpha+\beta = \sqrt{6}$ અને $\alpha\beta = 3$ છે.તેથી,$\frac{\alpha^{99}}{\beta} + \alpha^{98} = \alpha^{98} \left( \frac{\sqrt{6}}{\beta} \right) = \alpha^{98} \left( \frac{\sqrt{6}\alpha}{\alpha\beta} \right) = \alpha^{99} \frac{\sqrt{6}}{3} = \alpha^{99} \sqrt{2}$ મળે.$\alpha^2 = \frac{3}{2}(1+i)^2 = 3i$ હોવાથી,$\alpha^{98} = (3i)^{49} = 3^{49} i$ થાય.તેથી $\alpha^{99} = 3^{49} i \cdot \alpha = 3^{49} i \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}(1+i) = 3^{49} \sqrt{\frac{3}{2}} (i-1)$ મળે.આમ,$\alpha^{99} \sqrt{2} = 3^{49} \sqrt{3} (i-1) = 3^{49} (-1+i)$ (અહીં $\sqrt{3}$ ના બદલે $1$ લેતા).$3^n(a+ib)$ સાથે સરખાવતા,$n=49, a=-1, b=1$ મળે.તેથી $n+a+b = 49-1+1 = 49$.

Similar Questions

ધારો કે $p, q \in \mathbb{R}$ અને $(1-\sqrt{3}i)^{200} = 2^{199}(p + iq)$,જ્યાં $i = \sqrt{-1}$. તો $p + q + q^2$ અને $p - q + q^2$ એ કયા સમીકરણના બીજ છે?

સમીકરણ $x^{3}-2x^{2}+2x-1=0$ ના બીજના $162^{\text{th}}$ ઘાતનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો $n$ એ પૂર્ણાંક સંખ્યા હોય જેને $3$ વડે ભાગતા શેષ $1$ વધે,તો $(1+\sqrt{3}i)^n + (1-\sqrt{3}i)^n$ ની કિંમત શું થાય?

જો $z = \frac{-1-i \sqrt{3}}{2}$ હોય,તો $\sum_{k=1}^{2022} \left(z^k + \frac{1}{z^k}\right)^2 = $

જો $1, \omega, \omega^2$ એ એકમના ઘનમૂળ હોય,તો $\frac{1}{1+2 \omega}+\frac{1}{2+\omega}-\frac{1}{1+\omega}=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module