मान लीजिए f: R-{0} rightarrow R एक फलन है जो | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन समीकरण $f\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{f(x)}{f(y)}$ है।$x=y=1$ रखने पर,हमें $f(1) = \frac{f(1)}{f(1)} = 1$ प्राप्त होता है।अब,दिए गए

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$xf^{\prime}(x)-2024 f(x)=0$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया फलन समीकरण $f\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{f(x)}{f(y)}$ है।$x=y=1$ रखने पर,हमें $f(1) = \frac{f(1)}{f(1)} = 1$ प्राप्त होता है।अब,दिए गए समीकरण का $x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:$f^{\prime}\left(\frac{x}{y}\right) \cdot \frac{1}{y} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(y)}$.समीकरण में $y=x$ रखने पर:$f^{\prime}(1) \cdot \frac{1}{x} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$.चूँकि $f^{\prime}(1) = 2024$ है,हमें प्राप्त होता है:$2024 \cdot \frac{1}{x} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$.पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है:$x f^{\prime}(x) = 2024 f(x)$,जिसका अर्थ है कि $x f^{\prime}(x) - 2024 f(x) = 0$.

मान लीजिए $f: R-\{0\} \rightarrow R$ एक फलन है जो सभी $x, y$ के लिए $f\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{f(x)}{f(y)}$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $f(y) \neq 0$ है। यदि $f^{\prime}(1)=2024$ है,तो:

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मान लीजिए $u+v+w=3$, जहाँ $u, v, w \in \mathbb{R}$ और $f(x)=u x^2+v x+w$ इस प्रकार है कि $f(x+y)=f(x)+f(y)+x y$, सभी $x, y \in \mathbb{R}$ के लिए। तो $f(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि सभी $x, y \in R$ के लिए $f(x + y) = f(x) + f(y)$ और $f(1) = 1$ है,तो $\lim_{x \to 0} \frac{2^{f(\tan x)} - 2^{f(\sin x)}}{f(\tan x) - f(\sin x)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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