मान लीजिए a,(1-2x+2x^2)^{2023}(3-4x^2+2x^3)^{ | vedclass

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Question

(D) ज्ञात करने के लिए,सभी गुणांकों का योग,हम व्यंजक में $x=1$ रखते हैं: $a = (1-2(1)+2(1)^2)^{2023} 	imes (3-4(1)^2+2(1)^3)^{2024} = (1)^{2023} 	ime

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$1:1:4$

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(D) ज्ञात करने के लिए,सभी गुणांकों का योग,हम व्यंजक में $x=1$ रखते हैं: $a = (1-2(1)+2(1)^2)^{2023} 	imes (3-4(1)^2+2(1)^3)^{2024} = (1)^{2023} 	imes (1)^{2024} = 1$. $b$ ज्ञात करने के लिए,हम $L'	ext{H\^opital's Rule}$ का उपयोग करते हैं क्योंकि यह $0/0$ रूप है: $b = \lim_{x ightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx} \int_0^x \frac{\ln(1+t)}{t^{2024}+1} dt}{\frac{d}{dx} (x^2)} = \lim_{x ightarrow 0} \frac{\frac{\ln(1+x)}{x^{2024}+1}}{2x} = \frac{1}{2} \lim_{x ightarrow 0} \left( \frac{\ln(1+x)}{x} 	imes \frac{1}{x^{2024}+1} ight) = \frac{1}{2} 	imes 1 	imes 1 = \frac{1}{2}$. $a=1$ और $b=1/2$ को दूसरे समीकरण $2bx^2+ax+4=0$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2(1/2)x^2 + (1)x + 4 = 0 \implies x^2+x+4=0$. चूंकि समीकरणों $cx^2+dx+e=0$ और $x^2+x+4=0$ का एक उभयनिष्ठ मूल है और गुणांक वास्तविक हैं,इसलिए गुणांकों का अनुपात समान होना चाहिए: $\frac{c}{1} = \frac{d}{1} = \frac{e}{4}$. अतः,$d:c:e = 1:1:4$.

सूची-$I$	सूची-$II$
$(A)$ $\lambda=8, \mu \neq 15$	$1$. अनंत हल
$(B)$ $\lambda \neq 8, \mu \in R$	$2$. कोई हल नहीं
$(C)$ $\lambda=8, \mu=15$	$3$. अद्वितीय हल

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