ધારો કે f, g:(0, infty) rightarrow mathbb{R} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે $f(x) = \int_{-x}^{x} (|t| - t^2) e^{-t^2} dt$. સંકલ્ય યુગ્મ વિધેય હોવાથી,$f(x) = 2 \int_{0}^{x} (t - t^2) e^{-t^2} dt$.લેબનીઝના નિયમ મુજબ

Vedclass · Accepted Answer

$8$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે $f(x) = \int_{-x}^{x} (|t| - t^2) e^{-t^2} dt$. સંકલ્ય યુગ્મ વિધેય હોવાથી,$f(x) = 2 \int_{0}^{x} (t - t^2) e^{-t^2} dt$.લેબનીઝના નિયમ મુજબ,$f'(x) = 2(x - x^2) e^{-x^2} = 2xe^{-x^2} - 2x^2e^{-x^2}$.આપેલ છે $g(x) = \int_{0}^{x^2} t^{1/2} e^{-t} dt$. ધારો કે $t = u^2$,તો $dt = 2u du$. જ્યારે $t=0, u=0$ અને જ્યારે $t=x^2, u=x$.તેથી,$g(x) = \int_{0}^{x} u e^{-u^2} (2u) du = 2 \int_{0}^{x} u^2 e^{-u^2} du$.લેબનીઝના નિયમ મુજબ,$g'(x) = 2x^2 e^{-x^2}$.હવે,$f'(x) + g'(x) = (2xe^{-x^2} - 2x^2e^{-x^2}) + 2x^2e^{-x^2} = 2xe^{-x^2}$.બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$f(x) + g(x) = \int 2xe^{-x^2} dx = -e^{-x^2} + C$.$f(0) = 0$ અને $g(0) = 0$ હોવાથી,$f(0) + g(0) = 0$,તેથી $C = 1$.આમ,$f(x) + g(x) = 1 - e^{-x^2}$.$x = \sqrt{\log_{e} 9}$ માટે,$x^2 = \log_{e} 9$.તેથી $f(\sqrt{\log_{e} 9}) + g(\sqrt{\log_{e} 9}) = 1 - e^{-\log_{e} 9} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.નોંધ: આપેલા વિકલ્પો $9$ ના ગુણાંકમાં લાગે છે. જો પ્રશ્ન $9(f+g)$ માંગતો હોય,તો જવાબ $8$ છે.

Similar Questions

દ્વિ-વિકલનીય વિધેય $f(x) = \int_{0}^{x} e^{x-t} f'(t) dt - (x^2 - x + 1) e^x, x \in R$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

$\int_0^{\pi /2} \sin^{2m} x \, dx = $

$\int_0^{\pi /2} \sin^5 x \, dx = $

સમીકરણ $\int_0^{x^2} x f(t) dt = x^5 - x^3$ આપેલ હોય,તો $f(1)$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^\pi x \cdot \sin^5 x \cdot \cos^6 x \, dx =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module