ધારો કે $a, b, c$ એ ત્રિકોણની ત્રણ બાજુઓની લંબાઈ છે જે શરત $(a^2+b^2)x^2-2b(a+c)x+(b^2+c^2)=0$ નું પાલન કરે છે. જો $x$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો ગણ અંતરાલ $(\alpha, \beta)$ હોય,તો $12(\alpha^2+\beta^2)$ ની કિંમત શોધો.

જો સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ હોય,અને $\alpha + \beta$,$\alpha^2 + \beta^2$,તથા $\alpha^3 + \beta^3$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય,અને $\Delta = b^2 - 4ac$ હોય,તો નીચેનામાંથી શું સાચું છે?

ધારો કે $p$ અને $q$ એ સમીકરણ $x^2-2x+A=0$ ના બીજ છે અને $r$ અને $s$ એ સમીકરણ $x^2-18x+B=0$ ના બીજ છે. જો $p < q < r < s$ એ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માં હોય,તો $A$ અને $B$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $[r]$ એ $r$ થી વધુ ન હોય તેવો સૌથી મોટો પૂર્ણાંક દર્શાવે છે. સમીકરણ $3 x^2 + 6 x + 5 + \alpha (x^2 + 2 x + 2) = 0$ ના બીજ સંકર સંખ્યાઓ હોય જ્યારે $\alpha > L$ અથવા $\alpha < M$ હોય. જો $(L - M)$ ન્યૂનતમ હોય,તો $[r]$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધો જેથી તમામ $y \in R$ માટે $L y^2 + M y + r < 0$ થાય.

જો $4$ ઘાતવાળી બહુપદી $P(x) = 2x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ માટે $P(1) = 4, P(2) = 7, P(3) = 12$ અને $P(4) = 19$ હોય,તો $P(5)$ ની કિંમત શોધો.

જો $x$ વાસ્તવિક હોય,તો પદાવલિ $\frac{x^2 + 14x + 9}{x^2 + 2x + 3}$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો શોધો.