मान लीजिए कि $ABC$ एक त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल $15 \sqrt{2}$ है और सदिश $\overrightarrow{AB}=\hat{i}+2 \hat{j}-7 \hat{k}$,$\overrightarrow{BC}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$ और $\overrightarrow{AC}=6 \hat{i}+d \hat{j}-2 \hat{k}$ हैं,जहाँ $d>0$ है। तो त्रिभुज $ABC$ की सबसे बड़ी भुजा की लंबाई का वर्ग ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $\overrightarrow{a}$ एक शून्येतर सदिश है जो मूल बिंदु से गुजरने वाले और क्रमशः $(\hat{i}+\hat{j}, \hat{i}+\hat{k})$ और $(\hat{i}-\hat{j}, \hat{j}-\hat{k})$ सदिशों को समाहित करने वाले दो समतलों के प्रतिच्छेदन रेखा के समानांतर है। यदि $\theta$ सदिश $\vec{a}$ और सदिश $\vec{b}=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ के बीच का कोण है और $\vec{a} \cdot \vec{b}=6$ है,तो क्रमित युग्म $(\theta, |\vec{a} \times \vec{b}|)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\overrightarrow{OA} = 3i + 2j - k$ और $\overrightarrow{OB} = i + 3j + k$ है,तो त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\vec{a} = \vec{j} - \vec{k}$ और $\vec{c} = \vec{i} - \vec{j} - \vec{k}$ है। तो सदिश $\vec{b}$ ज्ञात कीजिए जो $\vec{a} \times \vec{b} + \vec{c} = 0$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ को संतुष्ट करता है।

यदि $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ है,तो $(\vec{a}+\vec{b})$ और $(\vec{a}-\vec{b})$ दोनों के लंबवत एक इकाई सदिश ज्ञात कीजिए।

यदि $a = i + j + 2k$ और $b = 3i + j + k$ है,तो $a \times b$ का मान ज्ञात कीजिए।