मान लीजिए कि y=y(x) अवकल समीकरण (x^2+4)^2 dy | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2+4)^2 dy + (2x^3y+8xy-2) dx = 0$ है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(x^2+4)^2 \frac{dy}{dx} + 2x(x^2+4)y = 2$ प्रा

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$\frac{\pi}{32}$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2+4)^2 dy + (2x^3y+8xy-2) dx = 0$ है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(x^2+4)^2 \frac{dy}{dx} + 2x(x^2+4)y = 2$ प्राप्त होता है। $(x^2+4)^2$ से भाग देने पर,हमें रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{x^2+4}y = \frac{2}{(x^2+4)^2}$. समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int \frac{2x}{x^2+4} dx} = e^{\ln(x^2+4)} = x^2+4$ है। दोनों पक्षों को $IF$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{d}{dx} [y(x^2+4)] = \frac{2}{x^2+4}$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$y(x^2+4) = \int \frac{2}{x^2+2^2} dx = 2 \cdot \frac{1}{2} 	an^{-1}(\frac{x}{2}) + C = 	an^{-1}(\frac{x}{2}) + C$ प्राप्त होता है। चूंकि $y(0)=0$ दिया गया है,इसलिए $0(0+4) = 	an^{-1}(0) + C$,जिसका अर्थ है कि $C=0$ है। अतः,$y(x^2+4) = 	an^{-1}(\frac{x}{2})$। $x=2$ पर,$y(2^2+4) = 	an^{-1}(\frac{2}{2}) = 	an^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$। इसलिए,$y(8) = \frac{\pi}{4}$,जिसका अर्थ है $y(2) = \frac{\pi}{32}$।

मान लीजिए कि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $(x^2+4)^2 dy + (2x^3y+8xy-2) dx = 0$ का हल है। यदि $y(0)=0$ है,तो $y(2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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