मान लीजिए alpha beta neq 0 और A = begin{bmatr | vedclass

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Question

(D) हम जानते हैं कि यदि $B$,$A$ का सहखंडज आव्यूह है,तो $AB = \operatorname{det}(A)I$ होता है,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है। अतः,$\operatorname{det}(AB) =

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$216$

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(D) हम जानते हैं कि यदि $B$,$A$ का सहखंडज आव्यूह है,तो $AB = \operatorname{det}(A)I$ होता है,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है। अतः,$\operatorname{det}(AB) = \operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(B)$।चूँकि $B = \operatorname{adj}(A)$,इसलिए $\operatorname{det}(B) = \operatorname{det}(\operatorname{adj}(A)) = (\operatorname{det}(A))^{n-1}$,जहाँ $n=3$ आव्यूह की कोटि है।अतः,$\operatorname{det}(AB) = \operatorname{det}(A) \cdot (\operatorname{det}(A))^{3-1} = (\operatorname{det}(A))^3$।$\operatorname{det}(A)$ ज्ञात करने के लिए,हम सहखंड $B_{21} = -\alpha$ का उपयोग करते हैं। $A_{21}$ का सहखंड $(-1)^{2+1} \begin{vmatrix} \alpha & 3 \ \alpha & 2\alpha \end{vmatrix} = -(2\alpha^2 - 3\alpha) = 3\alpha - 2\alpha^2$ है।दिया गया है कि $B_{21} = -\alpha$,इसलिए $3\alpha - 2\alpha^2 = -\alpha$,जिसका अर्थ है $2\alpha^2 - 4\alpha = 0$। चूँकि $\alpha 
eq 0$,हमें $\alpha = 2$ प्राप्त होता है।$B_{12} = -9$ का उपयोग करके,$A_{12}$ का सहखंड $(-1)^{1+2} \begin{vmatrix} \alpha & \beta \ -\beta & 2\alpha \end{vmatrix} = -(2\alpha^2 + \beta^2) = -9$ है। $\alpha = 2$ रखने पर,$-(8 + \beta^2) = -9$,इसलिए $\beta^2 = 1$। चूँकि $\beta 
eq 0$,$\beta = 1$ या $-1$ है।$B_{22} = 7$ का उपयोग करके,$A_{22}$ का सहखंड $(-1)^{2+2} \begin{vmatrix} \beta & 3 \ -\beta & 2\alpha \end{vmatrix} = 2\alpha\beta + 3\beta = 7$ है। $\alpha = 2$ रखने पर,$4\beta + 3\beta = 7$,इसलिए $7\beta = 7$,जिससे $\beta = 1$ प्राप्त होता है।अब,$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 2 & 1 \ -1 & 2 & 4 \end{bmatrix}$ है।$\operatorname{det}(A) = 1(8-2) - 2(8+1) + 3(4+2) = 6 - 18 + 18 = 6$।अतः,$\operatorname{det}(AB) = (\operatorname{det}(A))^3 = 6^3 = 216$।

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