मान लीजिए कि $C$ न्यूनतम क्षेत्रफल वाला वृत्त है जो परवलय $y=6-x^2$ और रेखाओं $y=\sqrt{3}|x|$ को स्पर्श करता है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा बिंदु वृत्त $C$ पर स्थित है?

परवलय $y^2 = 4x$ को बिंदु $(1, 2)$ पर और $x$-अक्ष को स्पर्श करने वाले दो वृत्तों में से छोटे वृत्त का क्षेत्रफल ($sq. units$ में) ज्ञात कीजिए।

बिंदु $(0,1)$ से गुजरने वाले और परवलय $y=x^{2}$ को बिंदु $(2,4)$ पर स्पर्श करने वाले वृत्त का केंद्र ज्ञात कीजिए।

वृत्त $C$ जिसका समीकरण $x^2+y^2-16x-12y+64=0$ है,के लिए नीचे दी गई सूची-$I$ का सूची-$II$ से मिलान करें।

सूची-$I$	सूची-$II$
$(i)$ $C$ के सापेक्ष $(-5, 1)$ की ध्रुवीय का समीकरण	$(A)$ $y = 0$
$(ii)$ $C$ पर $(8, 0)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण	$(B)$ $y = 6$
$(iii)$ $C$ पर $(2, 6)$ पर अभिलंब का समीकरण	$(C)$ $x + y = 7$
$(iv)$ $(8, 12)$ से गुजरने वाले $C$ के व्यास का समीकरण	$(D)$ $13x + 5y = 98$
	$(E)$ $x = 8$

सही मिलान है:

मान लीजिए $M = \{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : x^2 + y^2 \leq r^2\}$,जहाँ $r > 0$ है। गुणोत्तर श्रेणी $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$,$n = 1, 2, 3, \ldots$ पर विचार करें। मान लीजिए $S_0 = 0$ है और,$n \geq 1$ के लिए,$S_n$ इस श्रेणी के पहले $n$ पदों का योग दर्शाता है। $n \geq 1$ के लिए,$C_n$ उस वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $(S_{n-1}, 0)$ और त्रिज्या $a_n$ है,और $D_n$ उस वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $(S_{n-1}, S_{n-1})$ और त्रिज्या $a_n$ है।
$(1)$ $r = \frac{1025}{513}$ के साथ $M$ पर विचार करें। मान लीजिए $k$ उन सभी वृत्तों $C_n$ की संख्या है जो $M$ के अंदर हैं। मान लीजिए $l$ इन $k$ वृत्तों में से उन वृत्तों की अधिकतम संभव संख्या है ताकि कोई भी दो वृत्त एक-दूसरे को न काटें। तब
$(A)$ $k + 2l = 22$ $(B)$ $2k + l = 26$ $(C)$ $2k + 3l = 34$ $(D)$ $3k + 2l = 40$
$(2)$ $r = \frac{(2^{199}-1)\sqrt{2}}{2^{198}}$ के साथ $M$ पर विचार करें। $M$ के अंदर स्थित उन सभी वृत्तों $D_n$ की संख्या है
$(A)$ $198$ $(B)$ $199$ $(C)$ $200$ $(D)$ $201$

माना $C$ वृत्त $x^2+(y-1)^2=2$ है। माना $E_1$ और $E_2$ दो दीर्घवृत्त हैं जिनके केंद्र मूल बिंदु पर हैं और मुख्य अक्ष क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर स्थित हैं। माना सरल रेखा $x+y=3$ वक्रों $C$,$E_1$ और $E_2$ को क्रमशः $P(x_1, y_1)$,$Q(x_2, y_2)$ और $R(x_3, y_3)$ पर स्पर्श करती है। यदि $P$,रेखाखंड $QR$ का मध्य-बिंदु है और $PQ = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ है,तो $9(x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3)$ का मान . . . . . . है।