मान लीजिए y=y(x) अवकल समीकरण (1+x^2) frac{dy} | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(1+x^2) \frac{dy}{dx} + y = e^{	an^{-1} x}$ है।$(1+x^2)$ से विभाजित करने पर,$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{1+x^2} = \frac{e^{	a

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$\frac{1}{2}(1-e^{\pi/2})$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $(1+x^2) \frac{dy}{dx} + y = e^{	an^{-1} x}$ है।$(1+x^2)$ से विभाजित करने पर,$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{1+x^2} = \frac{e^{	an^{-1} x}}{1+x^2}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{1+x^2}$ और $Q = \frac{e^{	an^{-1} x}}{1+x^2}$ है।समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{1+x^2} dx} = e^{	an^{-1} x}$ है।हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है।$y \cdot e^{	an^{-1} x} = \int \frac{e^{	an^{-1} x}}{1+x^2} \cdot e^{	an^{-1} x} dx$.मान लीजिए $	an^{-1} x = z$,तो $\frac{1}{1+x^2} dx = dz$.$y \cdot e^{	an^{-1} x} = \int e^{2z} dz = \frac{e^{2z}}{2} + C = \frac{e^{2	an^{-1} x}}{2} + C$.$y(1) = 0$ दिया गया है,इसलिए $0 \cdot e^{	an^{-1}(1)} = \frac{e^{2	an^{-1}(1)}}{2} + C \Rightarrow 0 = \frac{e^{\pi/2}}{2} + C \Rightarrow C = -\frac{e^{\pi/2}}{2}$.अतः,$y \cdot e^{	an^{-1} x} = \frac{e^{2	an^{-1} x}}{2} - \frac{e^{\pi/2}}{2}$.$x=0$ के लिए,$y \cdot e^{	an^{-1}(0)} = \frac{e^{2	an^{-1}(0)}}{2} - \frac{e^{\pi/2}}{2} \Rightarrow y \cdot 1 = \frac{1}{2} - \frac{e^{\pi/2}}{2}$.इसलिए,$y(0) = \frac{1}{2}(1 - e^{\pi/2})$.

मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $(1+x^2) \frac{dy}{dx} + y = e^{\tan^{-1} x}$ का हल है,जहाँ $y(1)=0$ है। तो $y(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $y = y(x)$ अवकल समीकरण $(x^2 - x\sqrt{x^2-1})dy + (y(x - \sqrt{x^2-1}) - x)dx = 0, x \geq 1$ का हल है। यदि $y(1) = 1$ है, तो $y(\sqrt{5})$ से छोटा महत्तम पूर्णांक . . . . . . है।

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