ધારો કે $f: (-\infty, \infty) - \{0\} \rightarrow R$ એ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f^{\prime}(1) = \lim_{a \rightarrow \infty} a^2 f\left(\frac{1}{a}\right)$ થાય. તો $\lim_{a \rightarrow \infty} \left[ \frac{a(a+1)}{2} \tan^{-1}\left(\frac{1}{a}\right) + a^2 - 2 \log_e a \right]$ ની કિંમત શોધો.

નીચેના વિધાનોનું અવલોકન કરો:
$I. f(x) = a x^{41} + b x^{-40} \Rightarrow \frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)} = 1640 x^{-2}$
$II. \frac{d}{d x} \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right) = \frac{1}{1+x^2}$
નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

ધારો કે $f_1: R \rightarrow R, f_2:\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow R, f_3:\left(-1, e^{\frac{\pi}{2}}-2\right) \rightarrow R$ અને $f_4: R \rightarrow R$ એ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત વિધેયો છે:
$(i)$ $f_1(x)=\sin \left(\sqrt{1-e^{-x^2}}\right)$
$(ii)$ $f_2(x)=\begin{cases} \frac{|\sin x|}{\tan^{-1} x} & \text{જો } x \neq 0 \\ 1 & \text{જો } x=0 \end{cases}$,જ્યાં પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેય $\tan^{-1} x$ એ $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ માં કિંમતો ધારણ કરે છે.
$(iii)$ $f_3(x)=\left[\sin \left(\log_e(x+2)\right)\right]$,જ્યાં,$t \in R$ માટે,$[t]$ એ $t$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે.
$(iv)$ $f_4(x)=\begin{cases} x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right) & \text{જો } x \neq 0 \\ 0 & \text{જો } x=0 \end{cases}$

$LIST-I$	$LIST-II$
$P$. વિધેય $f_1$ એ	$1$. $x=0$ આગળ સતત નથી
$Q$. વિધેય $f_2$ એ	$2$. $x=0$ આગળ સતત છે અને $x=0$ આગળ વિકલનીય નથી
$R$. વિધેય $f_3$ એ	$3$. $x=0$ આગળ વિકલનીય છે અને તેનું વિકલિત $x=0$ આગળ સતત નથી
$S$. વિધેય $f_4$ એ	$4$. $x=0$ આગળ વિકલનીય છે અને તેનું વિકલિત $x=0$ આગળ સતત છે

સાચો વિકલ્પ છે:

વિધેય $f(x) = x \cos x - \sin x$ ધ્યાનમાં લો. સાચું વિધાન ઓળખો.

જો $y = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{3x - x^3}{1 - 3x^2}\right) + \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{7x}{1 - 12x^2}\right)$ હોય,તો $x = 0$ આગળ $\frac{dy}{dx} = $

જો વિધેય $f(x)$ જે $f(x)=\begin{cases} a e^{x}+b e^{-x}, & -1 \leq x<1 \\ c x^{2}, & 1 \leq x \leq 3 \\ a x^{2}+2 c x, & 3 < x \leq 4 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તે અમુક $a, b, c \in R$ માટે સતત હોય અને $f'(0)+f'(2)=e$ હોય,તો $a$ ની કિંમત શોધો.