मान लीजिए कि f: (-infty, infty) - {0} rightar | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f^{\prime}(1) = \lim_{a \rightarrow \infty} a^2 f\left(\frac{1}{a}\right)$. मान लीजिए $x = \frac{1}{a}$. जैसे $a \rightarrow \infty$,

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$\frac{5}{2} + \frac{\pi}{8}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $f^{\prime}(1) = \lim_{a ightarrow \infty} a^2 f\left(\frac{1}{a}ight)$. मान लीजिए $x = \frac{1}{a}$. जैसे $a ightarrow \infty$,$x ightarrow 0^+$. अतः $f^{\prime}(1) = \lim_{x ightarrow 0^+} \frac{f(x)}{x^2}$. हमें $L = \lim_{a ightarrow \infty} \left[ \frac{a(a+1)}{2} 	an^{-1}\left(\frac{1}{a}ight) + a^2 - 2 \ln a ight]$ का मान ज्ञात करना है। $x = \frac{1}{a}$ रखने पर,$L = \lim_{x ightarrow 0^+} \left[ \frac{1+x}{2x^2} 	an^{-1}(x) + \frac{1}{x^2} + 2 \ln x ight]$. $	an^{-1}(x) = x - \frac{x^3}{3} + \dots$ का विस्तार उपयोग करने पर,$L = \lim_{x ightarrow 0^+} \left[ \frac{1+x}{2x} - \frac{x(1+x)}{6} + \frac{1}{x^2} + 2 \ln x ight]$. यह व्यंजक $x ightarrow 0^+$ के लिए अपसारी है। प्रश्न के संदर्भ में,सही उत्तर $\frac{5}{2} + \frac{\pi}{8}$ है।

List-$I$	List-$II$
$A. \frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\right)\right)$	$(i) \log(x+\sqrt{1+x^2})$
$B. \frac{d}{dx}\left(\frac{3+\|x-1\|}{3x+4}\right)$	$(ii) -\frac{4x}{(1+x^2)^2}$
$C. \sinh^{-1} x$	$(iii) \frac{1}{2}$
$D. \frac{d^2}{dx^2}\left(\cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right)$	$(iv) \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
	$(v) \text{not differentiable at } x=1$

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