List-I की वस्तुओं को List-II की वस्तुओं के सा | vedclass

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Question

(A-(III), B-(V), C-(I), D-(II)) के लिए: मान लीजिए $y = 	an^{-1}\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}} = 	an^{-1}\sqrt{\frac{2\sin^2(x/2)}{2\cos^2(x/2)}} =

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(A-(III), B-(V), C-(I), D-(II)) के लिए: मान लीजिए $y = 	an^{-1}\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}} = 	an^{-1}\sqrt{\frac{2\sin^2(x/2)}{2\cos^2(x/2)}} = 	an^{-1}(	an(x/2)) = \frac{x}{2}$.अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}$. इस प्रकार, $A ightarrow (iii)$.$B$ के लिए: मान लीजिए $y = \frac{3+|x-1|}{3x+4}$. फलन $|x-1|$, $x=1$ पर अवकलनीय नहीं है। अतः, यह व्यंजक $x=1$ पर अवकलनीय नहीं है। इस प्रकार, $B ightarrow (v)$.$C$ के लिए: मान लीजिए $y = \sinh^{-1} x$. हम जानते हैं कि $\sinh^{-1} x = \log(x+\sqrt{1+x^2})$. इस प्रकार, $C ightarrow (i)$.$D$ के लिए: मान लीजिए $y = \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}ight) = 2	an^{-1} x$.अतः $\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1+x^2} = 2(1+x^2)^{-1}$.अतः $\frac{d^2y}{dx^2} = 2(-1)(1+x^2)^{-2}(2x) = -\frac{4x}{(1+x^2)^2}$. इस प्रकार, $D ightarrow (ii)$.सही मिलान $A-(iii), B-(v), C-(i), D-(ii)$ है।

List-$I$	List-$II$
$A. \frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\right)\right)$	$(i) \log(x+\sqrt{1+x^2})$
$B. \frac{d}{dx}\left(\frac{3+\|x-1\|}{3x+4}\right)$	$(ii) -\frac{4x}{(1+x^2)^2}$
$C. \sinh^{-1} x$	$(iii) \frac{1}{2}$
$D. \frac{d^2}{dx^2}\left(\cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right)$	$(iv) \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
	$(v) \text{not differentiable at } x=1$

List-$I$	List-$II$
$a$. यदि $y=\|x\|+\|x-2\|$ है, तो $x=2$ पर $\frac{dy}{dx}=$	$i$. $2$
$b$. यदि $f(x)=\|\cos 2x\|$ है, तो $f^{\prime}(\frac{\pi}{4}+)=$	$ii$. $0$
$c$. यदि $f(x)=\sin(\pi[x])$ है, जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है, तो $f^{\prime}(1-)=$	$iii$. $-2$
$d$. यदि $f(x)=\log\|x-1\|, x \neq 1$ है, तो $f^{\prime}(\frac{1}{2})=$	$iv$. अस्तित्व नहीं है

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फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x, & |x| \leq 1 \\ \frac{1}{2}(|x|-1), & |x| > 1 \end{cases}$ है:

यदि $y=(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)$ है,तो $\lim _{x \rightarrow-1} \frac{dy}{dx}=$

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