ધારો કે $r_k = \frac{\int_0^1 (1-x^7)^k dx}{\int_0^1 (1-x^7)^{k+1} dx}$,$k \in N$. તો $\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{7(r_k-1)}$ નું મૂલ્ય ........... છે.

વિધાન $(A)$: $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^6 x + \cos^6 x) dx$ એ અંતરાલ $(\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{2})$ માં આવેલું છે.
કારણ $(R)$: $\sin^6 x + \cos^6 x$ એ $\frac{\pi}{2}$ આવર્તમાન ધરાવતું આવર્તી વિધેય છે.

એક બહુપદી વિધેય $f(x)$ જે શરતો $f(x) = [f'(x)]^2$ અને $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{19}{12}$ નું પાલન કરે છે,તે હોઈ શકે:

ધારો કે $f(x)$ એવું વિધેય છે જે $f'(x) = f(x)$ નું પાલન કરે છે અને $f(0) = 1$ છે,અને $g(x)$ એવું વિધેય છે જે $f(x) + g(x) = x^2$ નું પાલન કરે છે. તો સંકલન $\int_0^1 f(x)g(x) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f(t)=\begin{cases} (-1)^{n+1} 2, & \text{જો } t=2n-1, n \in N \\ \frac{(2n+1-t)}{2} f(2n-1) + \frac{(t-(2n-1))}{2} f(2n+1), & \text{જો } 2n-1 < t < 2n+1, n \in N \end{cases}$
$g(x) = \int_1^x f(t) dt, x \in (1, \infty)$ વ્યાખ્યાયિત કરો. ધારો કે $\alpha$ એ અંતરાલ $(1, 8]$ માં સમીકરણ $g(x) = 0$ ના ઉકેલોની સંખ્યા દર્શાવે છે અને $\beta = \lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{g(x)}{x-1}$ છે. તો $\alpha + \beta$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x) = \int_0^x {t(\sin x - \sin t) dt}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?