माना H: frac{-x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1 एक अ | vedclass

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Question

(B) अतिपरवलय $H: \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ के लिए उत्केंद्रता $e = \sqrt{3}$ है।$e^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2}$ $\Rightarrow 3 = 1 + \frac{a^

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$171$

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(B) अतिपरवलय $H: \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ के लिए उत्केंद्रता $e = \sqrt{3}$ है।$e^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2}$ $\Rightarrow 3 = 1 + \frac{a^2}{b^2}$ $\Rightarrow a^2 = 2b^2$।नाभिलंब की लंबाई $\frac{2a^2}{b} = 4\sqrt{3}$ है।$a^2 = 2b^2$ रखने पर,$\frac{4b^2}{b} = 4b = 4\sqrt{3} \Rightarrow b = \sqrt{3}$ और $b^2 = 3$।अतः $a^2 = 6$।अतिपरवलय का समीकरण $\frac{y^2}{3} - \frac{x^2}{6} = 1$ है।चूँकि बिंदु $(\alpha, 6)$,$H$ पर स्थित है,$\frac{36}{3} - \frac{\alpha^2}{6} = 1$ $\Rightarrow 12 - \frac{\alpha^2}{6} = 1$ $\Rightarrow \alpha^2 = 66$।नाभियाँ $(0, \pm 3)$ हैं।नाभीय दूरियाँ $d_1, d_2 = |ey \pm b| = |\sqrt{3}(6) \pm \sqrt{3}| = 7\sqrt{3}$ और $5\sqrt{3}$ हैं।$\beta = d_1 d_2 = 35 \cdot 3 = 105$।अतः,$\alpha^2 + \beta = 66 + 105 = 171$।

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