मान लीजिए कि $f$ और $g$ अंतराल $(-1, 1)$ पर परिभाषित वास्तविक मान वाले फलन हैं,इस प्रकार कि $g^{\prime \prime}(x)$ सतत है,$g(0) \neq 0$,$g^{\prime}(0) = 0$,$g^{\prime \prime}(0) \neq 0$,और $f(x) = g(x) \sin x$.
$\text{कथन}-1$: $\lim_{x \rightarrow 0} [g(x) \cot x - g(0) \operatorname{cosec} x] = f^{\prime \prime}(0)$.
$\text{कथन}-2$: $f^{\prime}(0) = g(0)$.

  • A
    $\text{कथन}-1$ सत्य है,$\text{कथन}-2$ सत्य है; $\text{कथन}-2$,$\text{कथन}-1$ की सही व्याख्या है।
  • B
    $\text{कथन}-1$ सत्य है,$\text{कथन}-2$ सत्य है; $\text{कथन}-2$,$\text{कथन}-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
  • C
    $\text{कथन}-1$ सत्य है,$\text{कथन}-2$ असत्य है।
  • D
    $\text{कथन}-1$ असत्य है,$\text{कथन}-2$ सत्य है।

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मान लीजिए $f : (0, \pi) \rightarrow \mathbb{R}$ एक दो बार अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $\lim _{t \rightarrow x} \frac{f(x) \sin t - f(t) \sin x}{t-x} = \sin^2 x$ सभी $x \in (0, \pi)$ के लिए। यदि $f \left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\pi}{12}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A) f \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4 \sqrt{2}}$
$(B) f(x) < \frac{x^4}{6} - x^2$ सभी $x \in (0, \pi)$ के लिए
$(C)$ ऐसा $\alpha \in (0, \pi)$ मौजूद है कि $f^{\prime}(\alpha) = 0$
$(D) f^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right) + f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$

यदि $f(x) = \begin{cases} x, & x \le 0 \\ 0, & x > 0 \end{cases}$ है,तो $x = 0$ पर $f(x)$ क्या है?

निम्नलिखित में से किस ग्राफ में $x = c$ नतिपरिवर्तन बिंदु (point of inflection) है?

निम्नलिखित कथनों का अवलोकन करें:
$I. f(x) = a x^{41} + b x^{-40} \Rightarrow \frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)} = 1640 x^{-2}$
$II. \frac{d}{d x} \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right) = \frac{1}{1+x^2}$
निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

मान लीजिए $k$ और $m$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,इस प्रकार कि फलन $f(x) = \begin{cases} 3x^2 + k\sqrt{x+1}, & 0 < x < 1 \\ mx^2 + k^2, & x \geq 1 \end{cases}$ सभी $x > 0$ के लिए अवकलनीय है। तो $\frac{8f'(8)}{f'(\frac{1}{8})}$ का मान $.............$ है।

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