मान लीजिए f : (0, pi) rightarrow mathbb{R} एक | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $\lim _{t \rightarrow x} \frac{f(x) \sin t - f(t) \sin x}{t-x} = \sin^2 x$.$t$ के सापेक्ष $L$'$H$ôpital नियम लागू करने पर:$\lim _{t \r

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$B, C, D$

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(C) दिया गया है $\lim _{t \rightarrow x} \frac{f(x) \sin t - f(t) \sin x}{t-x} = \sin^2 x$.$t$ के सापेक्ष $L$'$H$ôpital नियम लागू करने पर:$\lim _{t \rightarrow x} \frac{f(x) \cos t - f^{\prime}(t) \sin x}{1} = \sin^2 x$.$t = x$ रखने पर:$f(x) \cos x - f^{\prime}(x) \sin x = \sin^2 x$.$\sin^2 x$ से विभाजित करने पर:$\frac{f^{\prime}(x) \sin x - f(x) \cos x}{\sin^2 x} = -1$.यह $\frac{f(x)}{\sin x}$ का अवकलज है:$\frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{\sin x} \right) = -1$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\frac{f(x)}{\sin x} = -x + C$.$f \left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\pi}{12}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{-\pi/12}{1/2} = -\frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + C$,जिससे $C = 0$ प्राप्त होता है।अतः,$f(x) = -x \sin x$.विकल्पों की जाँच करने पर:$(A)$ असत्य है।$(B)$ सत्य है।$(C)$ सत्य है।$(D)$ सत्य है।

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