माना f(x) = lim_{n} {rightarrow infty} left( | vedclass

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Question

(B,C) दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\ln f(x) = \lim_{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{x}{n} \sum_{r=1}^n \ln \left( \frac{x + n/r}{x^2 + n^2/r^2}

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$B, D$

Vedclass · Answer

(B,C) दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\ln f(x) = \lim_{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{x}{n} \sum_{r=1}^n \ln \left( \frac{x + n/r}{x^2 + n^2/r^2} \cdot \frac{n}{r} \right)$$= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{x}{n} \sum_{r=1}^n \ln \left( \frac{1 + \frac{r}{n}x}{1 + (\frac{r}{n}x)^2} \right)$$= x \int_0^1 \ln \left( \frac{1 + tx}{1 + (tx)^2} \right) dt$माना $u = tx$,तब $du = x dt$:$\ln f(x) = \int_0^x \ln \left( \frac{1+u}{1+u^2} \right) du$कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार:$\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \ln \left( \frac{1+x}{1+x^2} \right)$$0  1$,इसलिए $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} > 0$,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ वर्धमान है।$x > 1$ के लिए,$\frac{1+x}{1+x^2} अतः,$f(1/3) चूंकि $f(x)$ $x > 1$ के लिए ह्रासमान है,$f^{\prime}(2) इसलिए,सही विकल्प $B$ और $C$ हैं।

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