यदि एक फलन $f$ इस प्रकार परिभाषित है:
$\begin{cases} f(x) = x-1, & \text{जब } -\infty < x < 1 \\ f(x) = 0, & \text{जब } x=1 \\ f(x) = x^3-1, & \text{जब } 1 < x < \infty \end{cases}$
तो $x=1$ पर,$f$ है:

$\frac{1}{e^{3x}}(e^x + e^{5x}) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots$
$\Rightarrow 2a_1 + 2^3a_3 + 2^5a_5 + \ldots$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $f$ और $g$ अंतराल $(-1, 1)$ पर परिभाषित वास्तविक मान वाले फलन हैं,इस प्रकार कि $g^{\prime \prime}(x)$ सतत है,$g(0) \neq 0$,$g^{\prime}(0) = 0$,$g^{\prime \prime}(0) \neq 0$,और $f(x) = g(x) \sin x$.
$\text{कथन}-1$: $\lim_{x \rightarrow 0} [g(x) \cot x - g(0) \operatorname{cosec} x] = f^{\prime \prime}(0)$.
$\text{कथन}-2$: $f^{\prime}(0) = g(0)$.

फलन $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x} & x \ge 1 \\ x^3 & 0 \le x < 1 \\ \frac{x^3}{3} - 4x & x < 0 \end{cases}$ के लिए निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} e^{x-1}; x < 0 \\ x^2-5x+6; x \ge 0 \end{cases}$ और $g(x) = f(|x|) + |f(x)|$ है। यदि उन बिंदुओं की संख्या जहाँ $g$ असंतत है और अवकलनीय नहीं है, क्रमशः $\alpha$ और $\beta$ है, तो $\alpha + \beta$ का मान ———— है।

फलन $u = e^x \sin x$ और $v = e^x \cos x$ निम्नलिखित में से किस समीकरण को संतुष्ट करते हैं?