फलन $u = e^x \sin x$ और $v = e^x \cos x$ निम्नलिखित में से किस समीकरण को संतुष्ट करते हैं?

मान लीजिए कि $f: ( -\infty, \infty ) \to ( -\infty, \infty )$ को $f(x) = x^3 + 1$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
कथन $1$: फलन $f$ का $x = 0$ पर स्थानीय चरम मान (local extremum) है।
कथन $2$: फलन $f$ अंतराल $( -\infty, \infty )$ पर सतत और अवकलनीय है और $f'(0) = 0$ है।

एक फलन $f(x)$ के निम्नलिखित गुण दिए गए हैं:
$(i)$ $f(x)$ सतत है और सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।
$(ii)$ $f'(-5) = 0$; $f'(2)$ परिभाषित नहीं है और $f'(4) = 0$ है।
$(iii)$ $(-5, 12)$ फलन $f(x)$ के ग्राफ पर एक बिंदु है।
$(iv)$ $f''(2)$ अपरिभाषित है,लेकिन अन्य सभी स्थानों पर $f''(x)$ ऋणात्मक है।
$(v)$ $f'(x)$ के चिह्न नीचे दी गई संख्या रेखा द्वारा दिए गए हैं:
$f'(x)$,$x < -5$ के लिए धनात्मक है,$-5 < x < 2$ के लिए ऋणात्मक है,$2 < x < 4$ के लिए धनात्मक है,और $x > 4$ के लिए ऋणात्मक है।
$y = f(x)$ के संभावित ग्राफ पर,हमारे पास है:

निम्नलिखित में से कौन सा सत्य नहीं है?

यदि $f(x) = \begin{cases} x^{3}-3x+2, & x < 2 \\ x^{3}-6x^{2}+9x+2, & x \geq 2 \end{cases}$ है, तो:

मान लीजिए $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,और $m$ और $n$ क्रमशः उन बिंदुओं की संख्या हैं,जहाँ फलन $f(x) = [x] + |x - 2|$,$-2 < x < 3$,संतत नहीं है और अवकलनीय नहीं है। तो $m + n$ का मान ज्ञात कीजिए: