यदि $f(x) = \begin{cases} x^{3}-3x+2, & x < 2 \\ x^{3}-6x^{2}+9x+2, & x \geq 2 \end{cases}$ है, तो:

माना $f(x) = \lim_{n}$ ${\rightarrow \infty} \left( \frac{n^n(x+n)(x+\frac{n}{2}) \cdots (x+\frac{n}{n})}{n!(x^2+n^2)(x^2+\frac{n^2}{4}) \cdots (x^2+\frac{n^2}{n^2})} \right)^{\frac{x}{n}}$,सभी $x > 0$ के लिए। तो
$(A)$ $f(\frac{1}{2}) \geq f(1)$
$(B)$ $f(\frac{1}{3}) \leq f(\frac{2}{3})$
$(C)$ $f^{\prime}(2) \leq 0$
$(D)$ $\frac{f^{\prime}(3)}{f(3)} \geq \frac{f^{\prime}(2)}{f(2)}$

मान लीजिए $C$ वक्र $y = x^3$ है (जहाँ $x$ सभी वास्तविक मान लेता है)। $A(t, t^3)$ पर स्पर्श रेखा वक्र को पुनः $B(T, T^3)$ पर मिलती है। यदि $B$ पर प्रवणता (gradient),$A$ पर प्रवणता की $K$ गुना है,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए।

$x > 0$ के लिए फलनों $f_{1}(x) = x$ और $f_{2}(x) = 2 + \ln x$ पर विचार करें। इन फलनों के आलेख कहाँ प्रतिच्छेद करते हैं?

मान लीजिए $f:R \to R$ एक सतत अवकलनीय फलन है,जहाँ $f(2) = 6$ और $f'(2) = \frac{1}{48}$ है। यदि $\int_6^{f(x)} 4t^3 \,dt = (x - 2)g(x)$ है,तो $\lim_{x \to 2} g(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $g(x)$ एक रैखिक फलन है और $f(x) = \begin{cases} g(x) & , x \leq 0 \\ \left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1}{x}} & , x > 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है। यदि $f^{\prime}(1) = f(-1)$ है,तो $g(3)$ का मान ज्ञात कीजिए।