मान लीजिए Q वह घन है जिसके शीर्षों का समुच्चय | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए घन $Q$ के शीर्ष $(x_1, x_2, x_3)$ हैं जहाँ $x_i \in \{0, 1\}$ है।मुख्य विकर्ण $OG$ पर विचार करें जो $(0,0,0)$ और $(1,1,1)$ को जोड़ता है।

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{\sqrt{6}}$

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए घन $Q$ के शीर्ष $(x_1, x_2, x_3)$ हैं जहाँ $x_i \in \{0, 1\}$ है।मुख्य विकर्ण $OG$ पर विचार करें जो $(0,0,0)$ और $(1,1,1)$ को जोड़ता है। इसका दिशा सदिश $\vec{v}_1 = (1, 1, 1)$ है। रेखा $OG$ का समीकरण $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$ है।एक फलक विकर्ण पर विचार करें,उदाहरण के लिए,$z=0$ फलक पर विकर्ण $AB$ जो $(1,0,0)$ और $(0,1,0)$ को जोड़ता है। इसका दिशा सदिश $\vec{v}_2 = (-1, 1, 0)$ है।दो रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी $d$ जिनके दिशा सदिश $\vec{v}_1, \vec{v}_2$ और बिंदु $P_1, P_2$ हैं,$d = \frac{|(\vec{P}_2 - \vec{P}_1) \cdot (\vec{v}_1 	imes \vec{v}_2)|}{|\vec{v}_1 	imes \vec{v}_2|}$ द्वारा दी जाती है।यहाँ $\vec{v}_1 	imes \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & 1 & 1 \ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-1) - \hat{j}(0 - (-1)) + \hat{k}(1 - (-1)) = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ है।इसका परिमाण $|\vec{v}_1 	imes \vec{v}_2| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6}$ है।$P_1 = (0,0,0)$ और $P_2 = (1,0,0)$ लेने पर,$\vec{P}_2 - \vec{P}_1 = (1,0,0)$ है।दूरी $d = \frac{|(1,0,0) \cdot (-1, -1, 2)|}{\sqrt{6}} = \frac{|-1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$ है।फलक विकर्णों और मुख्य विकर्णों के अन्य संयोजनों के लिए,दूरी या तो $0$ (यदि वे प्रतिच्छेद करते हैं) या $\frac{1}{\sqrt{6}}$ है। अतः,अधिकतम दूरी $\frac{1}{\sqrt{6}}$ है।

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