ધારો કે $\tan ^{-1}(x) \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$,$x \in R$ માટે. તો સમીકરણ $\sqrt{1+\cos (2 x)}=\sqrt{2} \tan ^{-1}(\tan x)$ ના ગણ $\left(-\frac{3 \pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$ માં વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી થાય?

જો $0 \leq A \leq \frac{\pi}{4}$ હોય, તો $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2} \tan 2 A\right)+\tan ^{-1}(\cot A)+\tan ^{-1}(\cot ^{3} A)$ ની કિંમત શોધો.

જો $\sin ^{-1} x + \sin ^{-1}(1-x) = \cos ^{-1} x$ હોય, તો $x \in$

આપેલ છે કે પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેય માત્ર મુખ્ય કિંમતો ધારણ કરે છે. ધારો કે $x, y$ એ $[-1, 1]$ માં કોઈપણ બે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $\cos ^{-1} x - \sin ^{-1} y = \alpha$,જ્યાં $-\frac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \pi$ છે. તો,$x^2 + y^2 + 2xy \sin \alpha$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

જો $f(x) = \cos \left( {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\sin \left( {{{\cos }^{ - 1}}x} \right)} \right)} \right) + \sin \left( {{{\cot }^{ - 1}}\left( {\cos \left( {{{\sin }^{ - 1}}x} \right)} \right)} \right)$ નો વિસ્તાર $[m, M)$ હોય,તો સમીકરણ $\operatorname{sgn} (|x - 1| - 2) = \ln |x - 2|$ ના ઉકેલોની સંખ્યા શોધો (જ્યાં $\operatorname{sgn}$ એ સિગ્નમ વિધેય દર્શાવે છે).

જો $x, y, z$ એ $A.P.$ માં હોય અને $\tan^{-1}x, \tan^{-1}y, \tan^{-1}z$ પણ $A.P.$ માં હોય,તો