मान लीजिए omega neq 1 इकाई का एक घनमूल है और | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए आव्यूह $M = \begin{bmatrix} 1 & a & b \ \omega & 1 & c \ \omega^2 & \omega & 1 \end{bmatrix}$ है।आव्यूह के गैर-शून्य (non-singular) हो

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$2$

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(A) मान लीजिए आव्यूह $M = \begin{bmatrix} 1 & a & b \ \omega & 1 & c \ \omega^2 & \omega & 1 \end{bmatrix}$ है।आव्यूह के गैर-शून्य (non-singular) होने के लिए,इसका सारणिक शून्य नहीं होना चाहिए,अर्थात $|M| 
eq 0$ होना चाहिए।$|M| = 1(1 - c\omega) - a(\omega - c\omega^2) + b(\omega^2 - \omega^2) = 1 - c\omega - a\omega + ac\omega^2$.$|M| = 1 - c\omega - a\omega + ac\omega^2 = (1 - a\omega)(1 - c\omega)$.$|M| 
eq 0$ के लिए,हमारे पास $1 - a\omega 
eq 0$ और $1 - c\omega 
eq 0$ होना चाहिए।इसका अर्थ है $a\omega 
eq 1$ और $c\omega 
eq 1$।चूँकि $\omega^3 = 1$,हमारे पास $\frac{1}{\omega} = \omega^2$ है। अतः,$a 
eq \omega^2$ और $c 
eq \omega^2$।यह दिया गया है कि $a, b, c \in \{\omega, \omega^2\}$,इसलिए $a 
eq \omega^2$ का अर्थ है $a = \omega$,और $c 
eq \omega^2$ का अर्थ है $c = \omega$।हालाँकि,$b$ या तो $\omega$ या $\omega^2$ हो सकता है क्योंकि $b$ सारणिक के व्यंजक में नहीं आता है।अतः,$(a, b, c)$ के लिए संभावित मान $(\omega, \omega, \omega)$ और $(\omega, \omega^2, \omega)$ हैं।इसलिए,भिन्न गैर-शून्य आव्यूहों की संख्या $2$ है।

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यदि $P$ एक नॉन-सिंगुलर मैट्रिक्स (आव्यूह) है, इस प्रकार कि $I+P+P^2+\ldots+P^{n}=0$ ($0$ शून्य आव्यूह को दर्शाता है), तो $P^{-1}=$

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