मान लीजिए f : R rightarrow R और g : R rightar | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f^{\prime}(x) = e^{f(x)} e^{-g(x)} g^{\prime}(x)$।$e^{f(x)}$ से विभाजित करने पर,हमें $e^{-f(x)} f^{\prime}(x) = e^{-g(x)} g^{\prime}(

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$B, C$

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(D) दिया गया है $f^{\prime}(x) = e^{f(x)} e^{-g(x)} g^{\prime}(x)$।$e^{f(x)}$ से विभाजित करने पर,हमें $e^{-f(x)} f^{\prime}(x) = e^{-g(x)} g^{\prime}(x)$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\int e^{-f(x)} f^{\prime}(x) dx = \int e^{-g(x)} g^{\prime}(x) dx$ प्राप्त होता है।इससे $-e^{-f(x)} = -e^{-g(x)} + C$,या $e^{-g(x)} - e^{-f(x)} = C$ प्राप्त होता है।शर्त $f(1) = 1$ और $g(2) = 1$ का उपयोग करके,हम स्थिरांक $C$ का मान ज्ञात करते हैं।चूंकि $e^{-g(x)} - e^{-f(x)} = C$ सभी $x$ के लिए सत्य है,इसलिए $e^{-g(1)} - e^{-f(1)} = e^{-g(2)} - e^{-f(2)}$ है।दिए गए मान $f(1) = 1$ और $g(2) = 1$ रखने पर,हमें $e^{-g(1)} - e^{-1} = e^{-1} - e^{-f(2)}$ प्राप्त होता है।पुनर्व्यवस्थित करने पर $e^{-f(2)} + e^{-g(1)} = 2e^{-1} = \frac{2}{e}$ प्राप्त होता है।चूंकि $e^{-f(2)} > 0$ और $e^{-g(1)} > 0$,इसलिए $e^{-f(2)} दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$-f(2)  1 - \ln(2)$।इसी प्रकार,$-g(1)  1 - \ln(2)$।अतः,कथन $(B)$ और $(C)$ सत्य हैं।

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