मान लीजिए f : R rightarrow R एक अवकलनीय फलन ह | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $f(x+y)=f(x) f^{\prime}(y)+f^{\prime}(x) f(y)$ और $f(0)=1$ है।दिए गए समीकरण में $x=0$ और $y=0$ रखने पर:$f(0+0)=f(0)f^{\prime}(0)+f^

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$2$

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(B) दिया गया है कि $f(x+y)=f(x) f^{\prime}(y)+f^{\prime}(x) f(y)$ और $f(0)=1$ है।दिए गए समीकरण में $x=0$ और $y=0$ रखने पर:$f(0+0)=f(0)f^{\prime}(0)+f^{\prime}(0)f(0)$$f(0)=2f(0)f^{\prime}(0)$चूँकि $f(0)=1$,इसलिए $1=2(1)f^{\prime}(0)$,जिसका अर्थ है कि $f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ है।अब,मूल समीकरण में $y=0$ रखने पर:$f(x+0)=f(x)f^{\prime}(0)+f^{\prime}(x)f(0)$$f(x)=f(x) \cdot \frac{1}{2} + f^{\prime}(x) \cdot 1$$f^{\prime}(x) = f(x) - \frac{1}{2}f(x) = \frac{1}{2}f(x)$।यह प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है:$\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{1}{2}$।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:$\int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} dx = \int \frac{1}{2} dx$$\ln(f(x)) = \frac{x}{2} + C$।$f(0)=1$ का उपयोग करने पर,हमें $\ln(1) = 0 + C$ प्राप्त होता है,इसलिए $C=0$ है।अतः,$f(x) = e^{x/2}$ है।अंत में,हम $\log _e(f(4))$ की गणना करते हैं:$f(4) = e^{4/2} = e^2$।$\log _e(f(4)) = \log _e(e^2) = 2$।

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