ધારો કે $P$ પ્રથમ અષ્ટમાંશમાં એક બિંદુ છે,જેનું સમતલ $x+y=3$ માં પ્રતિબિંબ $Q$ (એટલે કે,રેખાખંડ $PQ$ એ સમતલ $x+y=3$ ને લંબ છે અને $PQ$ નું મધ્યબિંદુ સમતલ $x+y=3$ પર આવેલું છે) $z$-અક્ષ પર આવેલું છે. ધારો કે $x$-અક્ષથી $P$ નું અંતર $5$ છે. જો $R$ એ $xy$-સમતલમાં $P$ નું પ્રતિબિંબ હોય,તો $PR$ ની લંબાઈ કેટલી થાય?

$\mathbb{R}^3$ માં,ધારો કે $L$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા છે. ધારો કે $L$ પરના તમામ બિંદુઓ બે સમતલો $P_1: x+2y-z+1=0$ અને $P_2: 2x-y+z-1=0$ થી સમાન અંતરે છે. ધારો કે $M$ એ $L$ પરના બિંદુઓમાંથી સમતલ $P_1$ પર દોરેલા લંબના પગનો બિંદુગણ છે. નીચેનામાંથી કયા બિંદુઓ $M$ પર આવેલા છે?
$(A) \left(0, -\frac{5}{6}, -\frac{2}{3}\right)$
$(B) \left(-\frac{1}{6}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{6}\right)$
$(C) \left(-\frac{5}{6}, 0, \frac{1}{6}\right)$
$(D) \left(-\frac{1}{3}, 0, \frac{2}{3}\right)$

ધારો કે $P$ એ એક સમતલ છે જે રેખા $\frac{x-1}{3}=\frac{y+6}{4}=\frac{z+5}{2}$ ને સમાવે છે અને રેખા $\frac{x-3}{4}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+5}{7}$ ને સમાંતર છે. જો બિંદુ $(1, -1, \alpha)$ સમતલ $P$ પર આવેલું હોય,તો $|5\alpha|$ ની કિંમત ....... છે.

બે સમતલો $\vec{r} \cdot \vec{m}_1=q_1$ અને $\vec{r} \cdot \vec{m}_2=q_2$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} \cdot (\vec{m}_1+\lambda \vec{m}_2)=q_1+\lambda q_2$ છે,જ્યાં $\lambda \in R$. બિંદુ $2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ અને સમતલો $\vec{r} \cdot (\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k})=5$ તથા $\vec{r} \cdot (3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})=7$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સદિશ સમીકરણ શોધો.

સમતલો $x+y+z=1$ અને $2x+3y+4z=5$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા અને સમતલ $x-y+z=0$ ને લંબ હોય તેવા સમતલનું સમીકરણ શોધો.

$\pi$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતું અને $1, -2, 2$ અને $2, 3, -1$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી બે રેખાઓને સમાવતું સમતલ છે. તો સમતલ $x - y - z + 1 = 0$ અને $\pi$ ના છેદબિંદુની રેખાના દિશા ગુણોત્તર શોધો.