माना X = 1({ }^{10} C _1)^2 + 2({ }^{10} C _2 | vedclass

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Question

(D) दी गई अभिव्यक्ति $X = \sum_{r=1}^{10} r \left({ }^{10} C_r\right)^2$ है।गुणधर्म ${ }^{n} C_r = { }^{n} C_{n-r}$ का उपयोग करते हुए,$X = \sum_{r=1}^

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$646$

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(D) दी गई अभिव्यक्ति $X = \sum_{r=1}^{10} r \left({ }^{10} C_right)^2$ है।गुणधर्म ${ }^{n} C_r = { }^{n} C_{n-r}$ का उपयोग करते हुए,$X = \sum_{r=1}^{10} (10-r) \left({ }^{10} C_{10-r}ight)^2 = \sum_{r=0}^{9} (10-r) \left({ }^{10} C_right)^2$ है।$X$ के दोनों रूपों को जोड़ने पर:$2X = \sum_{r=1}^{10} r \left({ }^{10} C_right)^2 + \sum_{r=0}^{9} (10-r) \left({ }^{10} C_right)^2 = 10 \sum_{r=0}^{10} \left({ }^{10} C_right)^2$ प्राप्त होता है।सर्वसमिका $\sum_{r=0}^{n} ({ }^{n} C_r)^2 = { }^{2n} C_n$ का उपयोग करते हुए,$2X = 10 \cdot { }^{20} C_{10}$ मिलता है।अतः,$X = 5 \cdot { }^{20} C_{10}$ है।चूंकि ${ }^{20} C_{10} = 184756$,इसलिए $X = 5 	imes 184756 = 923780$ है।अंत में,$\frac{X}{1430} = \frac{923780}{1430} = 646$।

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