ધારો કે f: R rightarrow R એક વિકલનીય વિધેય છે | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે કે $F(x) = \int_0^x f(t) dt$,કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$F'(x) = f(x)$ અને $F(0) = 0$ થાય.આપણને નીચે મુજબનું સંકલન સમીકરણ આપેલ છે:$\i

Vedclass · Accepted Answer

$4$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે કે $F(x) = \int_0^x f(t) dt$,કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$F'(x) = f(x)$ અને $F(0) = 0$ થાય.આપણને નીચે મુજબનું સંકલન સમીકરણ આપેલ છે:$\int_0^\pi (f'(x) + F(x)) \cos x dx = 2$સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરતા:$\int_0^\pi f'(x) \cos x dx + \int_0^\pi F(x) \cos x dx = 2$પ્રથમ સંકલન $I_1 = \int_0^\pi f'(x) \cos x dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:$I_1 = [f(x) \cos x]_0^\pi - \int_0^\pi f(x) (-\sin x) dx$$I_1 = f(\pi) \cos(\pi) - f(0) \cos(0) + \int_0^\pi f(x) \sin x dx$$f(\pi) = -6$,$\cos(\pi) = -1$,અને $\cos(0) = 1$ હોવાથી:$I_1 = (-6)(-1) - f(0)(1) + \int_0^\pi f(x) \sin x dx = 6 - f(0) + \int_0^\pi f(x) \sin x dx$હવે,બીજું સંકલન $I_2 = \int_0^\pi F(x) \cos x dx$ ધ્યાનમાં લો. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:$I_2 = [F(x) \sin x]_0^\pi - \int_0^\pi F'(x) \sin x dx$$F(0) = 0$ અને $\sin(0) = \sin(\pi) = 0$ હોવાથી,સીમા પદ $0$ થશે.$I_2 = - \int_0^\pi f(x) \sin x dx$$I_1$ અને $I_2$ ની કિંમતો મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:$(6 - f(0) + \int_0^\pi f(x) \sin x dx) + (- \int_0^\pi f(x) \sin x dx) = 2$$6 - f(0) = 2$$f(0) = 4$.

Similar Questions

ધારો કે $r_k = \frac{\int_0^1 (1-x^7)^k dx}{\int_0^1 (1-x^7)^{k+1} dx}$,$k \in N$. તો $\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{7(r_k-1)}$ નું મૂલ્ય ........... છે.

ધારો કે ${I_1} = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}}}{{1 + x}}} \,dx$ અને ${I_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{{{e^{{x^3}}}\left( {2 - {x^3}} \right)}}} \,dx$ હોય,તો $\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $I_1 = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x - \cos x}{1 + \sin x \cos x} dx$,$I_2 = \int_0^{2\pi} \cos^6 x dx$,$I_3 = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^3 x dx$,અને $I_4 = \int_0^1 \ln \left( \frac{1}{x} - 1 \right) dx$. તો:

$\alpha$ ની કિંમતો જે $\int_{\pi /2}^{\alpha} \sin x \, dx = \sin 2\alpha$ નું સમાધાન કરે છે,જ્યાં $\alpha \in [0, 2\pi]$,તે નીચે મુજબ છે:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module