मान लीजिए f(x) = x sin pi x,x 0 है। तो सभी | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = x \sin \pi x$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:$f^{\prime}(x) = \sin \pi x + \pi x \cos \pi x$.यह ज्ञात करने

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$(B, C)$

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(B) दिया गया है $f(x) = x \sin \pi x$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:$f^{\prime}(x) = \sin \pi x + \pi x \cos \pi x$.यह ज्ञात करने के लिए कि $f^{\prime}(x)$ कहाँ शून्य होता है,$f^{\prime}(x) = 0$ रखें:$\sin \pi x + \pi x \cos \pi x = 0$$\sin \pi x = -\pi x \cos \pi x$$	an \pi x = -\pi x$.$y = 	an \pi x$ और $y = -\pi x$ के आलेखों पर विचार करें।किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए,अंतराल $(n, n+1)$,$	an \pi x$ की उस शाखा के अनुरूप है जो $-\infty$ से $+\infty$ तक बढ़ती है।रेखा $y = -\pi x$ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक ऋणात्मक ढाल वाली सीधी रेखा है।अंतराल $(n, n+1)$ में,फलन $y = 	an \pi x$ सभी वास्तविक मानों को $-\infty$ से $+\infty$ तक ठीक एक बार कवर करता है।चूंकि अंतराल $(n, n+1)$ में $-\pi x$ का मान $-\pi(n+1)$ और $-\pi n$ के बीच होता है,इसलिए रेखा $y = -\pi x$ अंतराल $(n, n+1)$ में $	an \pi x$ की शाखा को ठीक एक बार काटती है।विशेष रूप से,$n \geq 1$ के लिए,यह प्रतिच्छेदन बिंदु अंतराल $\left(n + \frac{1}{2}, n+1ight)$ में स्थित होता है क्योंकि $	an \pi x$,$\left(n, n+\frac{1}{2}ight)$ में ऋणात्मक है और $\left(n+\frac{1}{2}, n+1ight)$ में धनात्मक है,जबकि $-\pi x$ हमेशा ऋणात्मक होता है।अतः,$f^{\prime}(x)$ अंतराल $(n, n+1)$ में एक अद्वितीय बिंदु पर शून्य होता है,और यह बिंदु $\left(n+\frac{1}{2}, n+1ight)$ में स्थित है।इसलिए,कथन $(B)$ और $(C)$ सही हैं।

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