ધારો કે f(x) એ અંતરાલ (0, infty) પર સતત વિકલન | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે કે $\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^{10} f(x)-x^{10} f(t)}{t^9-x^9}=1$.$t$ ની સાપેક્ષમાં $L$'$H$ôpital નો નિયમ લાગુ પાડતા:$\lim _{t \right

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{9}{11 x}+\frac{13}{11} x^{10}$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે કે $\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^{10} f(x)-x^{10} f(t)}{t^9-x^9}=1$.$t$ ની સાપેક્ષમાં $L$'$H$ôpital નો નિયમ લાગુ પાડતા:$\lim _{t \rightarrow x} \frac{10 t^9 f(x)-x^{10} f^{\prime}(t)}{9 t^8}=1$$\Rightarrow \frac{10 x^9 f(x)-x^{10} f^{\prime}(x)}{9 x^8}=1$$\Rightarrow 10 x f(x)-x^2 f^{\prime}(x)=9$$\Rightarrow f^{\prime}(x)-\frac{10}{x} f(x)=-\frac{9}{x^2}$.આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{10}{x}$ અને $Q(x) = -\frac{9}{x^2}$.સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{-10 \ln x} = x^{-10} = \frac{1}{x^{10}}$.ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ છે.$\frac{f(x)}{x^{10}} = \int -\frac{9}{x^2} \cdot \frac{1}{x^{10}} dx = -9 \int x^{-12} dx = -9 \left( \frac{x^{-11}}{-11} \right) + C = \frac{9}{11 x^{11}} + C$.$f(1)=2$ આપેલ હોવાથી,$\frac{2}{1} = \frac{9}{11} + C \Rightarrow C = 2 - \frac{9}{11} = \frac{13}{11}$.આમ,$f(x) = x^{10} \left( \frac{9}{11 x^{11}} + \frac{13}{11} \right) = \frac{9}{11 x} + \frac{13}{11} x^{10}$.તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(1-x^{2}) \frac{dy}{dx} + 2xy = x(1-x^{2})^{\frac{1}{2}}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

જો $x dy + (y + y^2 x) dx = 0$ અને $x = 1$ હોય ત્યારે $y = 1$ હોય,તો

વિકલ સમીકરણ $y \, dx - (x + 3y^2) \, dy = 0$ નું સમાધાન કરતો અને બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થતો વક્ર કયા બિંદુમાંથી પણ પસાર થાય છે?

એક વિધેય $y = f(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $f(x) \sin 2x - \cos x + (1 + \sin^2 x) f'(x) = 0$ નું સમાધાન કરે છે,જ્યાં $f(0) = 0$ છે. તો $f(\frac{\pi}{6})$ નું મૂલ્ય શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(1+y^{2})+(x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{dy}{dx}=0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module