ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ (xy-5x^2sqrt{1+x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+x^2)dy = (5x^2\sqrt{1+x^2} - xy)dx$ છે.તેને ગોઠવતા,$(1+x^2)\frac{dy}{dx} + xy = 5x^2\sqrt{1+x^2}$ મળે.$(1+x^2)$ વડે ભાગતા,$\f

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{5\sqrt{3}}{2}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+x^2)dy = (5x^2\sqrt{1+x^2} - xy)dx$ છે.તેને ગોઠવતા,$(1+x^2)\frac{dy}{dx} + xy = 5x^2\sqrt{1+x^2}$ મળે.$(1+x^2)$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} + \frac{x}{1+x^2}y = \frac{5x^2}{\sqrt{1+x^2}}$ મળે.આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{x}{1+x^2}$ અને $Q(x) = \frac{5x^2}{\sqrt{1+x^2}}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P(x)dx} = e^{\int \frac{x}{1+x^2}dx} = e^{\frac{1}{2}\ln(1+x^2)} = \sqrt{1+x^2}$.ઉકેલ $y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C$ છે.$y\sqrt{1+x^2} = \int \frac{5x^2}{\sqrt{1+x^2}} \cdot \sqrt{1+x^2} dx = \int 5x^2 dx = \frac{5x^3}{3} + C$.$y(0)=0$ આપેલ હોવાથી,$0\sqrt{1+0} = \frac{5(0)^3}{3} + C$,તેથી $C=0$.આમ,$y = \frac{5x^3}{3\sqrt{1+x^2}}$.$x=\sqrt{3}$ માટે,$y(\sqrt{3}) = \frac{5(\sqrt{3})^3}{3\sqrt{1+(\sqrt{3})^2}} = \frac{5(3\sqrt{3})}{3\sqrt{4}} = \frac{15\sqrt{3}}{3(2)} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(xy-5x^2\sqrt{1+x^2})dx+(1+x^2)dy=0$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(0)=0$ છે. તો $y(\sqrt{3})$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\left( {{e^{{x^2}}} + {e^{{y^2}}}} \right) y \frac{{dy}}{{dx}} + {e^{{x^2}}}(x{y^2} - x) = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x \cos x \frac{dy}{dx} + (x \sin x + \cos x) y = 1$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(\tan ^{-1} y-x) dy = (1+y^2) dx$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) . . . . . . છે.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{xy(x^2 \sin y^2 + 1)}$ નો ઉકેલ શોધો,જ્યાં $C$ એ સંકલન અચળાંક છે.

વિકલ સમીકરણ $(1+y+x^{2}y)dx + (x+x^{3})dy = 0$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module